逆行列補題の証明【線形代数,統計学,制御工学 他】

逆行列補題(inverse matrix lemma)

An\times nBn\times mCm\times nの行列(matrix)とし,I_mm\times mの単位行列(unit matrix)とすると,次の等式が成り立つ:

(1)   \begin{equation*} (A+BC)^{-1} = A^{-1}-A^{-1}B(I_m+CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1} . \end{equation*}

ただしA^{-1}Aの逆行列(inverse matrix)である.□

証明

D:=A+BCG:=A^{-1}-A^{-1}B(I_m+CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}とおく.DG=GD=I_nを示すことができれば,D^{-1}=Gすなわち上の逆行列補題(1)を示したことになる.

(i) DG=I_nの証明

    \begin{equation*} DG =(A+BC)\left\{ A^{-1}-A^{-1}B\left(I_m+CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1} \right\} \end{equation*}

上式右辺の\{ \; \}部分を展開する:

    \begin{equation*} DG=(A+BC)A^{-1} -(A+BC)A^{-1}B\left(I_m+CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1} \end{equation*}

(A+BC)を展開する:

    \begin{eqnarray*} DG &=& AA^{-1}+BCA^{-1} -AA^{-1}B\left(I_m+CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1} \\ &&\quad \quad -BCA^{-1}B\left(I_m+CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1} \end{eqnarray*}

右辺第1項,第3項でAA^{-1} = I_n とする:

    \begin{eqnarray*} DG&=&I_n + \underline{B}\;\underline{CA^{-1}} - \underline{B}\left(I_m+CA^{-1}B\right)^{-1}\underline{CA^{-1}}\\ &&\quad \quad -BCA^{-1}B\left(I_m+CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1} \end{eqnarray*}

上式の下線部に注意して右辺第2項と第3項をまとめる:

    \begin{eqnarray*} DG&=&I_n + B \left\{ I_m - \underline{\left(I_m+CA^{-1}B\right)^{-1}} \right\}CA^{-1} \\ &&-BCA^{-1}B\left(I_m+CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1} \end{eqnarray*}

右辺第2項で\{I-X^{-1}\}=\{IX-X^{-1}X\}X^{-1}=\{X-I\}X^{-1}のようにして,上式の下線部を\{\; \}の外に出す:

    \begin{eqnarray*} DG&=&I_n + B \left\{ \left(I_m+CA^{-1}B\right) - I_m \right\}\left(I_m+CA^{-1}B\right)^{-1} CA^{-1} \\ &&\quad \quad -BCA^{-1}B\left(I_m+CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1} \end{eqnarray*}

右辺第2項を整理すると\left\{ \left(I_m+CA^{-1}B\right) - I_m \right\}=CA^{-1}Bなので

    \begin{eqnarray*} DG&=&I_n + \underline{BCA^{-1}B\left(I_m+CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1}} \\ &&\quad \quad - \underline{BCA^{-1}B\left(I_m+CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1}} \end{eqnarray*}

となり,右辺第2項と第3項が相殺する.よって

    \begin{equation*} DG=I_n \end{equation*}

を得る.

(ii) GD=I_nの証明

(i)と同様にして,GD=I_nを示すことができる:

    \begin{eqnarray*} && GD \\ &&= \left\{ A^{-1}-A^{-1}B\left(I_m+CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1} \right\} (A+BC)\nonumber \\ &&= A^{-1}A + A^{-1}BC - A^{-1}B\left(I_m+CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1}A - A^{-1}B\left(I_m+CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1}BC \nonumber \\ &&= I_n + A^{-1}BC - A^{-1}B\left(I_m+CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1}A - A^{-1}B\left(I_m+CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1}BC \nonumber \\ &&= I_n + \underline{A^{-1}B}\;\underline{C} - \underline{A^{-1}B}\left(I_m+CA^{-1}B\right)^{-1}\underline{C} - A^{-1}B\left(I_m+CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1}BC \nonumber \\ &&= I_n + A^{-1}B\left\{I_m - \underline{\left(I_m+CA^{-1}B\right)^{-1}}\right\} C - A^{-1}B\left(I_m+CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1}BC \nonumber \\ &&= I_n + A^{-1}B\left(I_m+CA^{-1}B\right)^{-1} \left\{ \left(I_m+CA^{-1}B\right) - I_m \right\} C - A^{-1}B\left(I_m+CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1}BC \nonumber \\ &&= I_n + \underline{A^{-1}B \left(I_m+CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1}BC} -\underline{A^{-1}B\left(I_m+CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1}BC} \nonumber \\ &&=I_n \nonumber \end{eqnarray*}

(i),(ii)より,D^{-1}=Gである.
よって逆行列補題(1)が証明された.■

Remark 1

逆行列補題は,最小2乗法から逐次形最小2乗法を導出する際などに用いられる.

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