フーリエ変換の定義/公式【フーリエ解析】

ある関数を三角関数の重み付き和で表現することをフーリエ級数展開といい,元の関数から連続化された展開係数への変換をフーリエ変換という.以下で,フーリエ級数展開とフーリエ変換の厳密な定義を述べる.

フーリエ級数展開とフーリエ変換(Fourier series and Fourier transform)

フーリエ級数

区間-L +c \le x < L + cにおける,周期2Lの区分的になめらかな周期関数f(x)のフーリエ級数展開は

(1)   \begin{equation*} f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum^{\infty}_{n=1} \left(a_n \cos \frac{n\pi x}{L} + b_n \sin \frac{n\pi x}{L} \right) \end{equation*}

ただし,フーリエ係数a_nb_n

(2)   \begin{equation*} a_n = \frac{1}{L}\int^{L+c}_{-L+c} f(u) \cos \frac{n\pi u}{L} \: du \qquad(n=0,1,2,\cdots) \end{equation*}

(3)   \begin{equation*} b_n = \frac{1}{L}\int^{L+c}_{-L+c} f(u) \sin \frac{n\pi u}{L}\: du \qquad(n=1,2,3,\cdots) \end{equation*}

である.

三角関数の直交性(orthogonality)

\forall m,n \in {\mathbb N}に対して,次式が成り立つ.

(4)   \begin{equation*} \int^{\beta}_{\alpha} \sin \frac{n\pi x}{L}\sin \frac{m\pi x}{L}\: dx = L\delta_{mn} \end{equation*}

(5)   \begin{equation*} \int^{\beta}_{\alpha} \cos \frac{n\pi x}{L}\cos \frac{m\pi x}{L}\: dx = L\delta_{mn} \end{equation*}

(6)   \begin{equation*} \int^{\beta}_{\alpha} \sin \frac{n\pi x}{L}\cos \frac{m\pi x}{L}\: dx = 0 \end{equation*}

ただし\alpha:=-L+cおよび\beta:=L+cである.

(4)~(6)式を示す.
[三角関数の直交性の証明 については こちら]

(2)式右辺に(1)式を代入すると,

(7)   \begin{eqnarray*} &&\frac{1}{L}\int^{L+c}_{-L+c} f(u) \cos \frac{m\pi u}{L} \: du \nonumber \\ &=&\frac{1}{L}\int^{L+c}_{-L+c} \left\{\frac{a_0}{2} + \sum^{\infty}_{n=1} \left(a_n \cos \frac{n\pi x}{L} + b_n \sin \frac{n\pi x}{L} \right) \right\} \cos \frac{m\pi u}{L} \: du \nonumber \\ &=&\frac{1}{L} \left\{ \frac{a_0}{2} \int^{L+c}_{-L+c} \cos \frac{m\pi u}{L} \: du + \sum^{\infty}_{n=1} a_n \int^{L+c}_{-L+c} \cos \frac{n\pi u}{L} \cos \frac{m\pi u}{L} \: du \right \\ && \quad \quad \quad \left + \sum^{\infty}_{n=1} b_n \int^{L+c}_{-L+c} \sin \frac{n\pi u}{L} \cos \frac{m\pi u}{L} \: du \right\} \nonumber \\ &=&\frac{1}{L} \left\{ \frac{a_0}{2} \cdot 0 + \sum^{\infty}_{n=1} a_n \cdot L\delta_{mn} + \sum^{\infty}_{n=1} b_n \cdot 0 \right\} \nonumber \\ &=& a_m \end{eqnarray*}

を得る.すなわち(2)式はwell-definedである.同様に,(3)式右辺に(1)式を代入することで(3)式のwell-definednessを確かめることができる.

複素形式のフーリエ級数

e^{\theta} = \cos{\theta} +i \sin {\theta}に注意すると

(8)   \begin{eqnarray*} a_n \cos \frac{n\pi x}{L} + b_n \sin \frac{n\pi x}{L} &=& a_n \frac{e^{i{n\pi x}/{L}}+e^{-i{n\pi x}/{L}}}{2} + b_n \frac{e^{i{n\pi x}/{L}}-e^{-i{n\pi x}/{L}}}{2i} \nonumber \\ &=& \frac{a_n-ib_n}{2}e^{i{n\pi x}/{L}} + \frac{a_n+ib_n}{2}e^{-i{n\pi x}/{L}} \end{eqnarray*}

を得る.ここで

(9)   \begin{equation*} c_0 := \frac{a_0}{2}, \: c_n := \frac{a_n-ib_n}{2}, \: c_{-n} := \frac{a_n+ib_n}{2}\quad (n=1,2,\cdots) \end{equation*}

などとすると,これらをまとめて

(10)   \begin{eqnarray*} c_n &=& \frac{a_n - ib_n}{2} \nonumber \\ &=& \frac{1}{2L}\int^{L+c}_{-L+c} f(u) \left( \cos \frac{n\pi u}{L} - i \sin \frac{n\pi u}{L} \right) \: du \nonumber \\ &=& \frac{1}{2L}\int^{L+c}_{-L+c} f(u)\: e^{- in\pi u/L} \: du \qquad (n=\cdots,-1,0,1,\cdots) \end{eqnarray*}

とできることが分かる.したがって(1)式は

(11)   \begin{equation*} f(x) = \sum^{\infty}_{n=-\infty} c_{n}e^{in\pi x/L} \end{equation*}

と書き直すことができる.(10)を複素フーリエ係数,(11)を関数f(x)の複素フーリエ級数という.

フーリエ積分

フーリエ級数展開される関数f(x)が非周期関数の場合,L\to \inftyとすることによって,フーリエ級数はフーリエ積分と呼ばれるものになる.(2)式と(3)式の積分区間を-L\le u < Lとし,(1)式に代入すれば

(12)   \begin{eqnarray*} f(x) &=& \frac{1}{2L} \int^{L}_{-L} f(u)du \nonumber \\ &+& \frac{1}{L}\sum^{\infty}_{n=1} \left( \cos \frac{n\pi x}{L} \int^{L}_{-L} f(u) \cos \frac{n\pi u}{L}du + \sin \frac{n\pi x}{L} \int^{L}_{-L} f(u) \sin \frac{n\pi u}{L} du \right) \end{eqnarray*}

を得る.

(13)   \begin{equation*} \omega_n := 2\pi\frac{n}{2L}, \quad \Delta \omega:= \omega_{n+1} - \omega_n = \frac{\pi}{L} \end{equation*}

とすると,1/L = \Delta \omega / \piより,(12)式の右辺第2項は

(14)   \begin{equation*} \frac{\Delta \omega}{\pi} \sum^{\infty}_{n=1} \left( \cos \omega_n x \int^{L}_{-L} f(u) \cos \omega_n u du + \sin \omega_n x \int^{L}_{-L} f(u) \sin \omega_n u du \right) \end{equation*}

となる.また,非周期関数f(x)が絶対積分可能である(i.e. \int^{\infty}_{-\infty} |f(u)|duが存在する)と仮定すると,L\to \inftyとしたとき(12)式の右辺第1項は0となる.さらに,L\to \inftyのとき\Delta \omega \to 0となり\omega_nは連続変数とみなせるため,和を積分に変えることができる.すなわち,

(15)   \begin{eqnarray*} f(x) &=& \lim_{\Delta \omega \to 0} \frac{1}{\pi} \sum^{\infty}_{n=1} \left( \cos \omega_n x \int^{\infty}_{-\infty} f(u) \cos \omega_n u du + \sin \omega_n x \int^{\infty}_{-\infty} f(u) \sin \omega_n u du \right) \Delta \omega \nonumber \\ &=& \frac{1}{\pi} \int^{\infty}_{0} \left( \cos \omega x \int^{\infty}_{-\infty} f(u) \cos \omega u du + \sin \omega x \int^{\infty}_{-\infty} f(u) \sin \omega u du \right) d \omega \nonumber \\ &=& \frac{1}{\pi} \int^{\infty}_{0} \left\{ \int^{\infty}_{-\infty} f(u) \left( \cos \omega x \cos \omega u + \sin \omega x \sin \omega u \right) du \right\} d \omega \nonumber \\ &=& \frac{1}{\pi} \int^{\infty}_{0} \left\{ \int^{\infty}_{-\infty} f(u) \cos \omega \left( x - u \right) du \right\} d \omega \end{eqnarray*}

ここで得られた

(16)   \begin{equation*} f(x) = \frac{1}{\pi} \int^{\infty}_{0} d \omega \int^{\infty}_{-\infty} f(u) \cos \omega \left( x - u \right) du \end{equation*}

を,フーリエ積分公式という.また,(16)式は

(17)   \begin{eqnarray*} f(x) &=& \frac{1}{\pi} \int^{\infty}_{0} d \omega \int^{\infty}_{-\infty} f(u) \cos \omega \left( x - u \right) du \nonumber \\ &=& \frac{1}{\pi} \int^{\infty}_{0} d \omega \int^{\infty}_{-\infty} f(u) \frac12 \left(e^{i\omega \left( x - u \right)}+e^{-i\omega \left( x - u \right)} \right) du \nonumber \\ &=& \frac{1}{2\pi} \int^{\infty}_{-\infty} d \omega \int^{\infty}_{-\infty} f(u) e^{i\omega \left( x - u \right)} du \end{eqnarray*}

のように書くこともできる.

フーリエ変換

フーリエ積分(17)の\omegaに関する被積分関数を取り出して

(18)   \begin{equation*} F(\omega) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{\infty}_{-\infty} f(u) e^{-i\omega u} du \end{equation*}

のように関数F(\omega)を定義し,これをf(x)のフーリエ変換という.(17)式に(??)を代入すれば,もとの関数f(x)が得られる:

(19)   \begin{equation*} f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{\infty}_{-\infty} F(\omega) e^{i\omega x} d \omega. \end{equation*}

これをフーリエ逆変換という.

フーリエ変換,フーリエ逆変換は定義に係数部分の不定性があり,

(20)   \begin{eqnarray*} F(\omega) &:=& \int^{\infty}_{-\infty} f(u) e^{-i\omega u} du \\ f(x) &=& \frac{1}{2\pi} \int^{\infty}_{-\infty} F(\omega) e^{i\omega x} d \omega \end{eqnarray*}

などと定義することもある.

離散フーリエ変換

フーリエ変換(18)およびフーリエ逆変換(19)は,定義域として-\infty<\omega<\inftyおよび-\infty<x<\inftyなる連続値を持っている.これに対して,離散的かつ有限個のデータ系列に関するスペクトルを定義するのが離散フーリエ変換である.

あるデータ系列\{f_k | k= 0,1,\cdots, K_{max}-1 \}が与えられたとき,

(21)   \begin{equation*} c_n = \frac{1}{K_{max}}\sum_{k=0}^{K_{max}-1}f_k \; e^{-2\pi i n k /{K_{max}}} \qquad (n \in {\mathbb Z}) \end{equation*}

で得られる\{c_n | n \in {\mathbb Z} \}\{f_k | k= 0,1,\cdots, K_{max}-1 \}の離散フーリエ変換という.
ただしiは虚数単位である.

 

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