期待値:分布から期待値を計算する【確率論】

 

連続確率変数の期待値

確率密度分布f_X(x)に従う連続確率変数Xの期待値(expected value) E(X)とは,次式で定義される値である.

    \[E(X):= \int_A xf_X(x)dx\]

ただし,Af_Xの台(support) supp(f_X)を表す.

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例1 指数分布の期待値

指数分布の確率密度関数は

    \[f_X(x) := \lambda e^{-\lambda x}\]

で与えられ,またx\in [0,\itnfty)である.したがって指数分布の期待値は,

(1)   \begin{eqnarray*} E(X)&=& \int_A xf_X(x)dx \\ &=& \int_0^{\infty} x\lambda e^{-\lambda x}dx \\ &=& \left[ -x e^{-\lambda x} \right]_0^{\infty} - \int_0^{\infty} - e^{-\lambda x}dx \\ &=& \int_0^{\infty} e^{-\lambda x}dx \\ &=& \left[ -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} \right]_0^{\infty} \\ &=& \frac{1}{\lambda} \end{eqnarray*}

となる.

 

離散確率変数の期待値

確率質量関数f_X(x):= Pr(X=x)に従う離散確率変数Xの期待値E(X)とは,次式で定義される値である.

    \[E(X):= \sum_{x\in A} x f_X(x)\]

ただし,Af_Xの台(support) supp(f_X)を表す.

例2 ポアソン分布の期待値

ポアソン分布の確率質量関数は

    \[P_k:= Pr(X=k) = \frac{\lambda^k \; e^{-\lambda} }{k!}\]

で与えられる.ただし,k=0, 1, 2,... である.したがって,ポアソン分布の期待値は

(2)   \begin{eqnarray*} E(X)&:=& \sum_{k} x_k p_k \\ &=& \sum_{k=0}^{\infty} k \frac{\lambda^k \; e^{-\lambda} }{k!} \\ &=& \sum_{k=1}^{\infty} k \frac{\lambda^k \; e^{-\lambda} }{k!} \\ &=& \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^k \; e^{-\lambda} }{(k-1)!} \\ &=& \lambda \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^(k-1) \; e^{-\lambda} }{(k-1)!} \\ &=& \lambda \sum_{k'=0}^{\infty} \frac{\lambda^{k'} \; e^{-\lambda} }{k'!} \quad (k':=k-1)\\ &=& \lambda \cdot 1 \\ &=& \lambda \end{eqnarray*}

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