指数分布 平均 期待値,分散,累積分布関数を計算する【確率論】

ここでは,指数分布の期待値 E(X) および 分散 V(X) の計算方法を,途中式も含めて詳しく書きます.

指数分布の期待値と分散

指数分布(exponential distribution)の確率密度関数

(1)   \begin{equation*} f_X(x) := \lambda e^{-\lambda x} \quad \quad ( 0\leq x \leq \infty) \end{equation*}

が与えられたとき,その期待値E(X),分散V(X),および累積分布関数F_X(x)は,それぞれ

(2)   \begin{equation*} E(X) = \frac{1}{\lambda} \end{equation*}

(3)   \begin{equation*} V(X) = \frac{1}{\lambda^2} \end{equation*}

(4)   \begin{equation*} F_X(x) = 1 - e^{-\lambda x} \end{equation*}

となる.□

期待値の計算方法

(5)   \begin{eqnarray*} E(X)&=& \int_A xf_X(x)dx \\ &=& \int_0^{\infty} x\lambda e^{-\lambda x}dx \\ &=& \left[ -x e^{-\lambda x} \right]_0^{\infty} - \int_0^{\infty} - e^{-\lambda x}dx \\ &=& \int_0^{\infty} e^{-\lambda x}dx \\ &=& \left[ -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} \right]_0^{\infty} \\ &=& \frac{1}{\lambda} \end{eqnarray*}

分散の計算方法

(6)   \begin{eqnarray*} V(X)&=& E\left( (X - E(X))^2 \right) \\ &=&E(X^2) - E(X)^2 \\ &=& \int_0^{\infty} x^2 \lambda e^{-\lambda x}dx - \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2\\ &=& \left[ -x^2 e^{-\lambda x} \right]_0^{\infty} - \int_0^{\infty} - 2 x e^{-\lambda x}dx - \frac{1}{\lambda^2}\\ &=& \left[ 2x\cdot \left(-\frac{1}{\lambda}\right)\cdot e^{-\lambda x} \right]_0^{\infty} - \int_0^{\infty} - 2\cdot \left(-\frac{1}{\lambda}\right)\cdot e^{-\lambda x}dx - \frac{1}{\lambda^2}\\ &=& \int_0^{\infty} \frac{2}{\lambda} e^{-\lambda x}dx - \frac{1}{\lambda^2}\\ &=& \left[ -\frac{2}{\lambda^2} e^{-\lambda x} \right]_0^{\infty} - \frac{1}{\lambda^2}\\ &=& \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2} \\ &=& \frac{1}{\lambda^2} \end{eqnarray*}

累積分布関数の計算方法

(7)   \begin{eqnarray*} F_X(x)&=& \int_0^x f_X(t)dt \\ &=& \int_0^x \lambda e^{-\lambda t}dt \\ &=& \left[ - e^{-\lambda t} \right]_0^x \\ &=& 1 - e^{-\lambda x} \end{eqnarray*}

 

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