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三角関数の直交性の証明【フーリエ解析】

三角関数の直交性に関しては，巷間，周期・位相差・積分範囲等を限定した証明が多いが，ここでは周期を2L，位相差をcとする，より一般的な場合に対する計算を示す．

三角関数の直交性(Orthogonality of trigonometric functions)

\forall m,n \in {\mathbb N}および\forall L, \forall c \in {\mathbb R} に対して，次式が成り立つ．

(1)   \begin{equation*} I_1(n,m) = \int^{L+c}_{-L+c} \sin \frac{n\pi x}{L}\sin \frac{m\pi x}{L}\: dx = L\delta_{nm} \end{equation*}

(2)   \begin{equation*} I_2(n,m)=\int^{L+c}_{-L+c} \cos \frac{n\pi x}{L}\cos \frac{m\pi x}{L}\: dx = L\delta_{nm} \end{equation*}

(3)   \begin{equation*} I_3(n,m)=\int^{L+c}_{-L+c} \sin \frac{n\pi x}{L}\cos \frac{m\pi x}{L}\: dx = 0 \end{equation*}

ただし\delta_{nm}はクロネッカーのデルタ

(4)   \begin{equation*} \delta_{nm} = \left\{ \begin{array}{cc} 1 & (n=m) \\ 0 & (n\not= m) \end{array} \right \end{equation*}

である．□

 

準備1

\forall k \in {\mathbb Z}および\forall L, \forall c \in {\mathbb R} に対して，

(5)   \begin{equation*} D_c(k):=\int^{L+c}_{-L+c} \cos \frac{k\pi x}{L}\: dx = \left\{ \begin{array}{cc} 2L & (k=0) \\ 0 & (k\not= 0) \end{array} \right \end{equation*}

である．

 
途中計算：

(i) k=0のとき

(6)   \begin{equation*} D_c(k) :=\int^{L+c}_{-L+c} 1 \: dx = \left[ \; x \; \right]^{L+c}_{-L+c} = 2L \end{equation*}

(ii) k\not=0のとき

(7)   \begin{eqnarray*} D_c(k) &:=&\int^{L+c}_{-L+c} \cos \frac{k\pi x}{L}\: dx \\ &=& \left[ \frac{L}{k\pi} \sin \frac{k\pi x}{L} \right]^{L+c}_{-L+c} \\ &=& \frac{L}{k\pi} \left\{ \sin \frac{k\pi (c+L)}{L} - \sin \frac{k\pi (c-L)}{L} \right\} \quad (\because (\ast) )\\ &=& 0 \end{eqnarray*}

(\ast)の理由：

(8)   \begin{eqnarray*} \sin \frac{k\pi (c\pm L)}{L} &=& \sin k\pi \frac cL \cos k\pi \frac LL \pm \cos k\pi \frac cL \sin k\pi \frac LL \\ &=& \sin k\pi \frac cL \cos k\pi \quad (\because \sin k\pi = 0) \\ \end{eqnarray*}

すなわち，

(9)   \begin{equation*} \sin \frac{k\pi (c + L)}{L} = \sin \frac{k\pi (c - L)}{L} \end{equation*}

(10)   \begin{equation*} \therefore \sin \frac{k\pi (c + L)}{L} - \sin \frac{k\pi (c - L)}{L} = 0 \end{equation*}

となる．

 

準備2

\forall k \in {\mathbb Z}および\forall L, \forall c \in {\mathbb R} に対して，

(11)   \begin{equation*} D_s(k):=\int^{L+c}_{-L+c} \sin \frac{k\pi x}{L}\: dx = 0 \end{equation*}

である．

 
途中計算：

(i) k=0のとき

(12)   \begin{equation*} D_s(k) :=\int^{L+c}_{-L+c} 0 \: dx = 0 \end{equation*}

(ii) k\not=0のとき

(13)   \begin{eqnarray*} D_s(k) &:=&\int^{L+c}_{-L+c} \sin \frac{k\pi x}{L}\: dx \\ &=& \left[ - \; \frac{L}{k\pi} \cos \frac{k\pi x}{L} \right]^{L+c}_{-L+c} \\ &=& - \; \frac{L}{k\pi} \left\{ \cos \frac{k\pi (c+L)}{L} - \cos \frac{k\pi (c-L)}{L} \right\} \quad (\because (\ast) )\\ &=& 0 \end{eqnarray*}

(\ast)の理由：

(14)   \begin{eqnarray*} \cos \frac{k\pi (c\pm L)}{L} &=& \cos k\pi \frac cL \cos k\pi \frac LL \mp \sin k\pi \frac cL \sin k\pi \frac LL \\ &=& \cos k\pi \frac cL \cos k\pi \quad (\because \sin k\pi = 0) \\ \end{eqnarray*}

すなわち，

(15)   \begin{equation*} \cos \frac{k\pi (c + L)}{L} = \cos \frac{k\pi (c - L)}{L} \end{equation*}

(16)   \begin{equation*} \therefore \cos \frac{k\pi (c + L)}{L} - \cos \frac{k\pi (c - L)}{L} = 0 \end{equation*}

となる．

 

証明

(1)の証明：

三角関数の積和公式より

(17)   \begin{equation*} \sin \frac{n\pi x}{L}\sin \frac{m\pi x}{L} =\frac12 \left\{ \cos(n-m)\frac{\pi x}{L} - \cos(n+m)\frac{\pi x}{L} \right\} \end{equation*}

なので，

(18)   \begin{eqnarray*} I_1(n,m)&:=&\int^{L+c}_{-L+c} \sin \frac{n\pi x}{L}\sin \frac{m\pi x}{L}\: dx \\ &=& \frac12 \left\{ \int^{L+c}_{-L+c} \cos(n-m)\frac{\pi x}{L}\: dx \; - \; \int^{L+c}_{-L+c} \cos(n+m)\frac{\pi x}{L}\: dx \right\} \\ &=& \frac12 \left\{ D_c(n-m) \; - \; D_c(n+m) \right\} \end{eqnarray*}

(i) n=mのとき

(19)   \begin{eqnarray*} I_1(n,m) &=& \frac12 \left\{ D_c(n-m) \; - \; D_c(n+m) \right\} \\ &=& \frac12 \left\{ D_c(0) \; - \; D_c(2n) \right\}\\ &=& \frac12 \{ 2L \; - \; 0 \}\\ &=& L \end{eqnarray*}

(ii) n\not=mのとき

(20)   \begin{eqnarray*} I_1(n,m) &=& \frac12 \left\{ D_c(n-m) \; - \; D_c(n+m) \right\} \\ &=& \frac12 \{ 0 \;- \;0 \} \\ &=& 0 \end{eqnarray*}

よって，

(21)   \begin{equation*} I_1(n,m)= L\delta_{nm} = \left\{ \begin{array}{cc} L & (n=m) \\ 0 & (n\not= m) \end{array} \right \end{equation*}

すなわち与式(1)が示された．

 

(2)の証明：

三角関数の積和公式より

(22)   \begin{equation*} \cos \frac{n\pi x}{L}\cos \frac{m\pi x}{L} =\frac12 \left\{ \cos(n-m)\frac{\pi x}{L} + \cos(n+m)\frac{\pi x}{L} \right\} \end{equation*}

なので，

(23)   \begin{eqnarray*} I_2(n,m)&:=&\int^{L+c}_{-L+c} \cos \frac{n\pi x}{L}\cos \frac{m\pi x}{L}\: dx \\ &=& \frac12 \left\{ \int^{L+c}_{-L+c} \cos(n-m)\frac{\pi x}{L}\: dx \; + \; \int^{L+c}_{-L+c} \cos(n+m)\frac{\pi x}{L}\: dx \right\} \\ &=& \frac12 \left\{ D_c(n-m) \; + \; D_c(n+m) \right\} \end{eqnarray*}

(i) n=mのとき

(24)   \begin{eqnarray*} I_2(n,m) &=& \frac12 \left\{ D_c(n-m) \; + \; D_c(n+m) \right\} \\ &=& \frac12 \left\{ D_c(0) \; + \; D_c(2n) \right\}\\ &=& \frac12 \{ 2L \; + \; 0 \}\\ &=& L \end{eqnarray*}

(ii) n\not=mのとき

(25)   \begin{eqnarray*} I_2(n,m) &=& \frac12 \left\{ D_c(n-m) \; + \; D_c(n+m) \right\} \\ &=& \frac12 \{ 0 \;- \;0 \} \\ &=& 0 \end{eqnarray*}

よって，

(26)   \begin{equation*} I_2(n,m)= L\delta_{nm} = \left\{ \begin{array}{cc} L & (n=m) \\ 0 & (n\not= m) \end{array} \right \end{equation*}

すなわち与式(2)が示された．

 

(3)の証明：

三角関数の積和公式より

(27)   \begin{equation*} \sin \frac{n\pi x}{L}\cos \frac{m\pi x}{L} =\frac12 \left\{ \sin(n-m)\frac{\pi x}{L} + \sin(n+m)\frac{\pi x}{L} \right\} \end{equation*}

なので，

(28)   \begin{eqnarray*} I_3(n,m)&:=&\int^{L+c}_{-L+c} \sin \frac{n\pi x}{L}\cos \frac{m\pi x}{L}\: dx \\ &=& \frac12 \left\{ \int^{L+c}_{-L+c} \sin(n-m)\frac{\pi x}{L}\: dx \; + \; \int^{L+c}_{-L+c} \sin(n+m)\frac{\pi x}{L}\: dx \right\} \\ &=& \frac12 \left\{ D_s(n-m) \; + \; D_s(n+m) \right\} \\ &=& \frac12 \left\{ 0 \; + \; 0 \right\} \\ &=& 0 \end{eqnarray*}

すなわち与式(3)が示された．

 

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