三角関数の直交性に関しては,巷間,周期・位相差・積分範囲等を限定した証明が多いが,ここでは周期を2L,位相差をcとする,より一般的な場合に対する計算を示す.
三角関数の直交性(Orthogonality of trigonometric functions)
および
に対して,次式が成り立つ.
(1)
(2)
(3)
ただしはクロネッカーのデルタ
(4)
である.□
準備1
および
に対して,
(5)
である.
途中計算:
(i) のとき
(6)
(ii) のとき
(7)
の理由:
(8)
すなわち,
(9)
(10)
となる.
準備2
および
に対して,
(11)
である.
途中計算:
(i) のとき
(12)
(ii) のとき
(13)
の理由:
(14)
すなわち,
(15)
(16)
となる.
証明
(1)の証明:
三角関数の積和公式より
(17)
なので,
(18)
(i) のとき
(19)
(ii) のとき
(20)
よって,
(21)
すなわち与式(1)が示された.
(2)の証明:
三角関数の積和公式より
(22)
なので,
(23)
(i) のとき
(24)
(ii) のとき
(25)
よって,
(26)
すなわち与式(2)が示された.
(3)の証明:
三角関数の積和公式より
(27)
なので,
(28)
すなわち与式(3)が示された.
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