ポアソン分布 平均 期待値と分散を計算する【確率論】

ここでは,ポアソン分布の期待値 E(X)=λ および 分散 V(X)=λ の計算方法を,途中式も含めて詳しく書きます.

ポアソン分布の期待値と分散

ポアソン分布(Poisson distribution)の確率質量関数(pmf; probability mass function)

(1)   \begin{equation*} P_k:= \Pr(X=k) = \frac{\lambda^k \; e^{-\lambda} }{k!} \quad (k=0, 1, 2,...) \end{equation*}

が与えられたとき,その期待値E(X)および分散V(X)は,それぞれ

(2)   \begin{equation*} E(X) = \lambda \end{equation*}

(3)   \begin{equation*} V(X) = \lambda \end{equation*}

となる.□

期待値の計算方法

(4)   \begin{eqnarray*} E(X) &=& \sum_{k=0}^{\infty} k \; P_k \\ &=& \sum_{k=0}^{\infty} k \frac{\lambda^k \; e^{-\lambda} }{k!} \\ &=& \sum_{k=1}^{\infty} k \frac{\lambda^k \; e^{-\lambda} }{k!} \\ &=& \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^k \; e^{-\lambda} }{(k-1)!} \\ &=& \lambda \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^(k-1) \; e^{-\lambda} }{(k-1)!} \\ &=& \lambda \sum_{k'=0}^{\infty} \frac{\lambda^{k'} \; e^{-\lambda} }{k'!} \quad (k':=k-1)\\ &=& \lambda \cdot 1 \\ &=& \lambda \end{eqnarray*}

分散の計算方法

一般に,分散は

(5)   \begin{eqnarray*} V(X)  &:=&  E\left( (X - E(X))^2 \right) \\ &=&  E\left( X^2 - 2XE(X) + E(X)^2 \right) \\ &=&  E(X^2) - E\left( 2XE(X) \right) + E\left( E(X)^2 \right) \\ &=&  E(X^2) - 2E(X)E(X) + E(X)^2 \\ &=&  E(X^2) - E(X)^2 \end{eqnarray*}

だから,E(X^2)E(X)^2を計算すればよい.E(X^2)は,

(6)   \begin{eqnarray*} E(X^2) &=& \sum_{k=0}^{\infty} k^2 \; P_k \\ &=& \sum_{k=0}^{\infty} k^2 \frac{\lambda^k \; e^{-\lambda} }{k!} \\ &=& \sum_{k=1}^{\infty} k^2 \frac{\lambda^k \; e^{-\lambda} }{k!} \\ &=& \sum_{k=1}^{\infty} k \frac{\lambda^k \; e^{-\lambda} }{(k-1)!} \\ &=& \sum_{k=1}^{\infty} \lambda k \frac{\lambda^(k-1) \; e^{-\lambda} }{(k-1)!} \\ &=& \sum_{k=1}^{\infty} \lambda (k-1) \frac{\lambda^(k-1) \; e^{-\lambda} }{(k-1)!}  + \sum_{k=1}^{\infty} \lambda \cdot 1 \cdot \frac{\lambda^(k-1) \; e^{-\lambda} }{(k-1)!} \\ &=& \sum_{k=1}^{\infty} \lambda (k-1) \frac{\lambda^(k-1) \; e^{-\lambda} }{(k-1)!}  + \sum_{k=2}^{\infty} \lambda \cdot 1 \cdot \frac{\lambda^(k-1) \; e^{-\lambda} }{(k-1)!} \\ &=& \sum_{k=2}^{\infty} \lambda^2 \frac{\lambda^(k-2) \; e^{-\lambda} }{(k-2)!}  + \sum_{k=1}^{\infty} \lambda \frac{\lambda^(k-1) \; e^{-\lambda} }{(k-1)!} \\ &=&  \lambda^2 \sum_{k''=0}^{\infty} {k''}^2 \frac{\lambda^{k''} \; e^{-\lambda} }{{k''}!}  + \lambda \sum_{k'=0}^{\infty} {k'}^2 \frac{\lambda^{k'} \; e^{-\lambda} }{{k'}!} \quad(k'':=k-2, k':= k-1)\\ &=& \lambda^2 + \lambda \end{eqnarray*}

である.また(4)式より

(7)   \begin{equation*} E(X)^2 = \lambda^2 \end{equation*}

である.これらを(5)式に代入すれば

(8)   \begin{eqnarray*} V(X) &=& E(X^2) - E(X)^2 \\ &=& \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 \\ &=& \lambda \end{eqnarray*}

を得る.

 

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