微分と積分の公式【微積分,高校数学】

微分と積分の公式

以下で

(1)   \begin{equation*} f'(x) := \frac{d}{dx}f(x) \end{equation*}

とする.またa,b\in {\mathbb R}は任意の定数とする.

1.覚えておくべきもの

冪(べき)関数の微分:

(2)   \begin{equation*} (x^a)' = ax^{a-1} \end{equation*}

三角関数(sin, cos)の微分:

(3)   \begin{equation*} (\sin x)' = \cos x \end{equation*}

(4)   \begin{equation*} (\cos x)' = -\sin x \end{equation*}

指数関数の微分:

(5)   \begin{equation*} (e^x)' = e^x \end{equation*}

(6)   \begin{equation*} (e^{ax})' = ae^{ax} \end{equation*}

対数関数の微分:

(7)   \begin{equation*} (\ln x)' = \frac{1}{x} \end{equation*}

積の微分:

(8)   \begin{equation*} \left(f(x)\cdot g(x)\right)' = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x) \end{equation*}

商の微分:

(9)   \begin{equation*} \left(\frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}{g(x)^2} \end{equation*}

合成関数の微分:

(10)   \begin{equation*} \left[ g\left(f(x)\right) \right]' = g\left(f(x)\right) \cdot f(x) \end{equation*}

 

2.上記1およびその他の式から導けばよいもの

三角関数(tan)の微分

(11)   \begin{equation*} (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} \end{equation*}

底(base)aの指数関数の微分

(12)   \begin{equation*} (a^x)' = a^x \ln a \end{equation*}

aの対数関数の微分

(13)   \begin{equation*} (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} \end{equation*}

部分積分:

(14)   \begin{equation*} \int_a^b f(x) g(x) dx = \left[ F(x) g(x) \right]_a^b - \int_a^b F(x) g'(x) dx \end{equation*}

ただし

(15)   \begin{equation*} F(x):=\int f(x) dx \end{equation*}

 

式の導出

式(11) 三角関数(tan)の微分:

商の微分法(9)および

(16)   \begin{equation*} \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \end{equation*}

より,

(17)   \begin{eqnarray*} (\tan x)'  &=&\left( \frac{\sin x}{\cos x}\right)' \\ &=&\left( \frac{\cos x \cdot \cos x + \sin x \codt \sin x}{\cos^2 x}\right)' \\ &=& \frac{1}{\cos^2 x} \end{eqnarray*}

を得る. ■

式(12) 底(base)aの指数関数の微分:

(18)   \begin{equation*} y := a^x  \end{equation*}

とおく.式(18)の両辺対数をとると,

(19)   \begin{eqnarray*} \log_a y &=& \log_a a^x \\ &=& x \log_a a \\ &=& x \end{eqnarray*}

となる.この等式\log_a y = xの左辺に対して底変換を行うと,

(20)   \begin{equation*} \log_a y = \frac{\ln y}{\ln a} = x  \end{equation*}

となるから,

(21)   \begin{equation*} \ln y = x \ln a  \end{equation*}

を得る.この両辺をxで微分すると,

(22)   \begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} (\ln y) &=& \frac{d}{dx} (x \ln a) \\ \frac{dy}{dx} \frac{d}{dy} (\ln y) &=& \frac{d}{dx} (x \ln a) \\ y' \cdot \frac{1}{y} &=& \ln a \\ y' &=& y \ln a  \end{eqnarray*}

最初にy := a^xと定義したので,これを(22)に戻すと

(23)   \begin{equation*} (a^x)' = a^x \ln a \end{equation*}

を得る. ■

式(25) 底aの対数関数の微分:
底変換

(24)   \begin{equation*} \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}  \end{equation*}

より,

(25)   \begin{equation*} (\log_a x)' = \left( \frac{\ln x}{\ln a} \right)' = \frac{1}{x \ln a} \end{equation*}

を得る. ■

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