微分と積分の公式【微積分，高校数学】

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微分と積分の公式

以下で

(1) $\begin{equation*} f'(x) := \frac{d}{dx}f(x) \end{equation*}$

とする．また $a,b\in {\mathbb R}$ は任意の定数とする．

１．覚えておくべきもの

冪(べき)関数の微分：

(2) $\begin{equation*} (x^a)' = ax^{a-1} \end{equation*}$

三角関数(sin, cos)の微分：

(3) $\begin{equation*} (\sin x)' = \cos x \end{equation*}$

(4) $\begin{equation*} (\cos x)' = -\sin x \end{equation*}$

指数関数の微分：

(5) $\begin{equation*} (e^x)' = e^x \end{equation*}$

(6) $\begin{equation*} (e^{ax})' = ae^{ax} \end{equation*}$

対数関数の微分：

(7) $\begin{equation*} (\ln x)' = \frac{1}{x} \end{equation*}$

積の微分：

(8) $\begin{equation*} \left(f(x)\cdot g(x)\right)' = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x) \end{equation*}$

商の微分：

(9) $\begin{equation*} \left(\frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}{g(x)^2} \end{equation*}$

合成関数の微分：

(10) $\begin{equation*} \left[ g\left(f(x)\right) \right]' = g' \left(f(x)\right) \cdot f'(x) \end{equation*}$

なお，合成関数の微分法，積の微分法，商の微分法の証明については，下記の記事を参照のこと．

合成関数の微分・積の微分・商の微分：公式と証明

2021年2月19日

２．上記１およびその他の式から導けばよいもの

三角関数(tan)の微分

(11) $\begin{equation*} (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} \end{equation*}$

底(base) $a$ の指数関数の微分

(12) $\begin{equation*} (a^x)' = a^x \ln a \end{equation*}$

底 $a$ の対数関数の微分

(13) $\begin{equation*} (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} \end{equation*}$

部分積分：

(14) $\begin{equation*} \int_a^b f(x) g(x) dx = \left[ F(x) g(x) \right]_a^b - \int_a^b F(x) g'(x) dx \end{equation*}$

ただし

(15) $\begin{equation*} F(x):=\int f(x) dx \end{equation*}$

式の導出

式(11) 三角関数(tan)の微分：

商の微分法(9)および

(16) $\begin{equation*} \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \end{equation*}$

より，

(17) $\begin{eqnarray*} (\tan x)' &=&\left( \frac{\sin x}{\cos x}\right)' \\ &=&\left( \frac{\cos x \cdot \cos x + \sin x \codt \sin x}{\cos^2 x}\right)' \\ &=& \frac{1}{\cos^2 x} \end{eqnarray*}$

を得る．　■

式(12) 底(base) $a$ の指数関数の微分：

(18) $\begin{equation*} y := a^x \end{equation*}$

とおく．式(18)の両辺対数をとると，

(19) $\begin{eqnarray*} \log_a y &=& \log_a a^x \\ &=& x \log_a a \\ &=& x \end{eqnarray*}$

となる．この等式 $\log_a y = x$ の左辺に対して底変換を行うと，

(20) $\begin{equation*} \log_a y = \frac{\ln y}{\ln a} = x \end{equation*}$

となるから，

(21) $\begin{equation*} \ln y = x \ln a \end{equation*}$

を得る．この両辺を $x$ で微分すると，

(22) $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} (\ln y) &=& \frac{d}{dx} (x \ln a) \\ \frac{dy}{dx} \frac{d}{dy} (\ln y) &=& \frac{d}{dx} (x \ln a) \\ y' \cdot \frac{1}{y} &=& \ln a \\ y' &=& y \ln a \end{eqnarray*}$