三角関数で覚えておくべきものは加法定理と単位円だけ?【高校数学】

高校数学では三角関数についての多くの「公式」が出てくるが,以下に挙げるものを覚えておけば実用上困ることはない.他のものは,必要となった際にそのづど導けばよく,語呂合わせなどで無理に暗記する必要はない.「暗記」は最小限に留めて,数式を手際よく運用する練習をしておいた方が,何かと便利であると思う.

なお,\sin(\theta + 2\pi) = \sin \thetaだとか,\cos(-\theta)= \cos \thetaだとかの引数まわりの操作についても,暗記などしようとしてはいけない.これらは三角関数のグラフを描けるようにしておくことで対応するのがよい.これについては稿を改める.

1.覚えておくべきもの

(1)三角関数の加法定理

(1)   \begin{eqnarray*} \sin (A \pm B) &=& \sin A \cos B \pm \cos A \sin B \\ \cos (A \pm B) &=& \cos A \cos B \mp \sin A \sin B \end{eqnarray*}

ただし複号同順.

(2)単位円

(2)   \begin{equation*} \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \end{equation*}

(3)正接(tan)

(3)   \begin{equation*} \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \end{equation*}

 

2.上記1から導けばよいもの

以下の諸公式は加法定理から誘導される.

倍角の公式:

(4)   \begin{eqnarray*} \sin 2A &=& 2 \sin A \cos A \\ \cos 2A &=& \cos^2 A - \sin^2 A \end{eqnarray*}

半角の公式:

(5)   \begin{eqnarray*} \sin^2 \frac{\theta}{2} &=& \frac12(1 - \cos \theta)\\ \cos^2 \frac{\theta}{2} &=& \frac12(1 + \cos \theta) \end{eqnarray*}

積和公式:

(6)   \begin{eqnarray*} \sin A \sin B &=& \frac12(\cos(A-B) - \cos(A+B))\\ \cos A \cos B &=& \frac12(\cos(A-B) + \cos(A+B))\\ \sin A \cos B &=& \frac12(\sin(A-B) + \sin(A+B)) \end{eqnarray*}

 

導出

半角の公式の導出:

(7)   \begin{eqnarray*} \cos 2A &=& \cos^2 A - \sin^2 A \\ &=& \cos^2 A - \sin^2 A + 1 -1 \\ &=& \cos^2 A - \sin^2 A + 1 - \cos^2 A - \sin^2 A \\ &=& -2 \sin^2 A +1 \\ 2 \sin^2 A &=& 1 - \cos 2A \\ \sin^2 A &=& \frac12(1 - \cos 2A) \\ \sin^2 \frac{\theta}{2} &=& \frac12(1 - \cos \theta) \end{eqnarray*}

(8)   \begin{eqnarray*} \cos 2A &=& \cos^2 A - \sin^2 A \\ &=& \cos^2 A - \sin^2 A + 1 -1 \\ &=& \cos^2 A - \sin^2 A + \cos^2 A + \sin^2 A -1 \\ &=& 2 \cos^2 A -1 \\ 2 \cos^2 A &=& 1 + \cos 2A \\ \cos^2 A &=& \frac12(1 + \cos 2A) \\ \cos^2 \frac{\theta}{2} &=& \frac12(1 + \cos \theta) \end{eqnarray*}

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