三角関数で覚えておくべきものは加法定理と単位円だけ？【高校数学】

【この記事の概要】

高校数学では三角関数についての多くの「公式」が出てきますが，以下に挙げるものを覚えておけば実用上困ることはないでしょう．他のものは，語呂合わせなどで無理に暗記せずとも，必要となった際にその都度，導くことができます，「暗記」は最小限に留めて，数式を手際よく運用する練習をしておくとよいでしょう．

なお， $\sin(\theta + 2\pi) = \sin \theta$ だとか， $\cos(-\theta)= \cos \theta$ だとかの引数まわりの操作についても，暗記するよりも，三角関数のグラフを描けるようにしておくことで対応するのがよいでしょう（これについては稿を改めます）．

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１．覚えておくべきもの

（１）三角関数の加法定理

(1) $\begin{eqnarray*} \sin (A \pm B) &=& \sin A \cos B \pm \cos A \sin B \\ \cos (A \pm B) &=& \cos A \cos B \mp \sin A \sin B \end{eqnarray*}$

ただし複号同順．

（２）単位円

(2) $\begin{equation*} \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \end{equation*}$

（３）正接(tan)

(3) $\begin{equation*} \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \end{equation*}$

２．上記１から導けばよいもの

以下の諸公式は加法定理から誘導される．

倍角の公式：

(4) $\begin{eqnarray*} \sin 2A &=& 2 \sin A \cos A \\ \cos 2A &=& \cos^2 A - \sin^2 A \end{eqnarray*}$

半角の公式：

(5) $\begin{eqnarray*} \sin^2 \frac{\theta}{2} &=& \frac12(1 - \cos \theta)\\ \cos^2 \frac{\theta}{2} &=& \frac12(1 + \cos \theta) \end{eqnarray*}$

積和公式：

(6) $\begin{eqnarray*} \sin A \sin B &=& \frac12(\cos(A-B) - \cos(A+B))\\ \cos A \cos B &=& \frac12(\cos(A-B) + \cos(A+B))\\ \sin A \cos B &=& \frac12(\sin(A-B) + \sin(A+B)) \end{eqnarray*}$

導出

半角の公式の導出：

(7) $\begin{eqnarray*} \cos 2A &=& \cos^2 A - \sin^2 A \\ &=& \cos^2 A - \sin^2 A + 1 -1 \\ &=& \cos^2 A - \sin^2 A + 1 - \cos^2 A - \sin^2 A \\ &=& -2 \sin^2 A +1 \\ 2 \sin^2 A &=& 1 - \cos 2A \\ \sin^2 A &=& \frac12(1 - \cos 2A) \\ \sin^2 \frac{\theta}{2} &=& \frac12(1 - \cos \theta) \end{eqnarray*}$

(8) $\begin{eqnarray*} \cos 2A &=& \cos^2 A - \sin^2 A \\ &=& \cos^2 A - \sin^2 A + 1 -1 \\ &=& \cos^2 A - \sin^2 A + \cos^2 A + \sin^2 A -1 \\ &=& 2 \cos^2 A -1 \\ 2 \cos^2 A &=& 1 + \cos 2A \\ \cos^2 A &=& \frac12(1 + \cos 2A) \\ \cos^2 \frac{\theta}{2} &=& \frac12(1 + \cos \theta) \end{eqnarray*}$