ガウス積分の公式を証明/導出する【微積分】

ガウス積分の公式の導出方法を示します.ガウス積分は,正規分布(ガウス分布)の期待値や分散を計算する際に必要となります.

ガウス積分

ガウス積分(Gaussian integral)とは,以下の積分計算のことである.

(1)   \begin{equation*} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-Bx^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{B}} \end{equation*}

ガウス積分の計算方法

ガウス積分

(2)   \begin{equation*} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-Bx^2} dx \end{equation*}

の値を計算するには,まず(2)式の2乗

(3)   \begin{equation*} \left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-Bx^2} dx\right)^2 \end{equation*}

を計算してその値を求め,その後に平方根をとればよい.2乗することによって変数変換が可能になり,ガウス積分を実行できる.

(4)   \begin{eqnarray*} \left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-Bx^2} dx\right)^2 &=&\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-Bx^2} dx\right) \cdot \left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-By^2} dy\right) \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-Bx^2}\cdot e^{-By^2} dxdy \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-B(x^2+y^2)} dxdy \end{eqnarray*}

ここで,

(5)   \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ccc} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \end{array} \right \end{equation*}

として,(x,y)\mapsto (r,\theta)なる変数変換を行う.式(4)の被積分関数の指数部について,

(6)   \begin{eqnarray*} x^2+y^2 &=& r^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) \\ &=& r^2 \end{eqnarray*}

となることに注意する.(x,y)(r,\theta)の積分区間については

(7)   \begin{equation*} (x,y) \; \in \; (-\infty, \infty)\times(-\infty, \infty) \end{equation*}

に対して

(8)   \begin{equation*} (r,\theta) \;\in \; [0, \infty) \times [0, 2\pi) \end{equation*}

となる.微小体積dxdyについては,

(9)   \begin{eqnarray*} dxdy &=& J drd\theta\\ &=&  \left|  \begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial r} \\ \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{array} \right| drd\theta \\ &=&  \left|  \begin{array}{cc} \cos \theta & \sin \theta \\ -r \sin \theta & r \cos \theta  \end{array} \right| drd\theta \\ &=&  (r \cos^2 \theta + r \sin^2 \theta ) drd\theta \\ &=&  r  drd\theta \end{eqnarray*}

となる.ここに

(10)   \begin{equation*} J = \left|  \begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial r} \\ \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{array} \right| \end{equation*}

はヤコビアン(Jacobian,ヤコビ行列式)と呼ばれる.以上より,式(4)は

(11)   \begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-B(x^2+y^2)} dxdy &=& \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{2\pi} e^{-Br^2} J drd\theta \\ &=& \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{\infty}  re^{-Br^2} dr \right) d\theta \\ &=& \left[  -\frac{1}{2B} e^{-Br^2} \right]_{0}^{\infty} \times \int_{0}^{2\pi} \; d\theta \\ &=& \frac{1}{2B} \int_{0}^{2\pi} \; d\theta \\ &=& \frac{1}{2B}  \big[\; \theta \; \big]_{0}^{2\pi} \\ &=& \frac{2\pi}{2B}  \\ &=& \frac{\pi}{B}   \end{eqnarray*}

となる.すなわち

(12)   \begin{equation*} \left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-Bx^2} dx\right)^2 = \frac{\pi}{B}   \end{equation*}

である.この両辺で平方根をとることにより,ガウス積分の値が

(13)   \begin{equation*} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-Bx^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{B}} \end{equation*}

のように求まる.



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