正規分布の計算:期待値(平均),分散,標準偏差 【確率論】

正規分布の確率密度関数から,正規確率変数の期待値(平均) E(X) および 分散 V(X) を計算する方法を示します.期待値は,確率密度関数とその引数の積を積分することにより得られます.

正規分布の期待値と分散

正規分布(normal distribution, またはガウス分布Gaussian distribution)の確率密度関数

(1)   \begin{equation*} f_{X}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp{\left\{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right\}} \end{equation*}

が与えられたとき,その確率変数Xの期待値E(X),分散V(X)は,それぞれ

(2)   \begin{equation*} E(X) = \mu \end{equation*}

(3)   \begin{equation*} V(X) = \sigma^2 \end{equation*}

となる.□

準備

以下の積分

(4)   \begin{equation*} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-Bz^2 } dz = \sqrt{\frac{\pi}{B}} \end{equation*}

は,ガウス積分と呼ばれる(ガウス積分の計算方法は こちら).

正規分布の期待値と分散を計算する際,e^{-\frac{z^2}{2} }ze^{-\frac{z^2}{2} },およびz^2e^{-\frac{z^2}{2} }の積分結果を用いるので,まずこれらを計算しておこう.

e^{-\frac{z^2}{2} }の積分は,ガウス積分(4)でB=1/2としたものである.

(5)   \begin{equation*} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{z^2}{2} } dz = \sqrt{2\pi}} \end{equation*}

ze^{-\frac{z^2}{2} }の積分は,容易に行える.

(6)   \begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} z e^{-\frac{z^2}{2} } dz &=& \left[ -e^{-\frac{z^2}{2} } \right]_{-\infty}^{\infty} \\ &=& 0 \end{eqnarray*}

z^2e^{-\frac{z^2}{2} }の積分は,

(7)   \begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} z^2 e^{-\frac{z^2}{2} } dz &=& \int_{-\infty}^{\infty} z\cdot \left(z e^{-\frac{z^2}{2} } \right) dz \\ &=& \left[ z\cdot \left(- e^{-\frac{z^2}{2} } \right) \right]_{-\infty}^{\infty} + \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{z^2}{2} } dz \\ &=& 0+\sqrt{2\pi} \\ &=& \sqrt{2\pi} \end{eqnarray*}

のように,1行目右辺から2行目への計算で部分積分を行い,3行目第2項でガウス積分を行う.

 

期待値の計算方法

(8)   \begin{eqnarray*} E(X)&=& \int_A xf_X(x)dx \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp{\left\{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right\}}dx \end{eqnarray*}

ここで,標準化(standardization)と呼ばれる変数変換

(9)   \begin{equation*} z:=\frac{x-\mu}{\sigma} \end{equation*}

を行うと,x=\sigma z + \mudx=\sigma dzなので,

(10)   \begin{eqnarray*} E(X) &=& \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp{\left\{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right\}}dx \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty} (\sigma z + \mu) \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{z^2}{2} }\;\sigma dz \\ &=& \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} z e^{-\frac{z^2}{2} } dz + \frac{\mu}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{z^2}{2} } dz \\ &=& \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}} \cdot 0 + \frac{\mu}{\sqrt{2\pi}} \cdot \sqrt{2\pi} \\ &=& \mu \end{eqnarray*}

となる.

分散の計算方法

一般に

(11)   \begin{eqnarray*} V(X)&=& E\left( (X - E(X))^2 \right) \\ &=&E(X^2) - E(X)^2 \end{eqnarray*}

なので,まずE(X^2)を求める.

(12)   \begin{eqnarray*} E(X^2)&=& \int_A x^2\;f_X(x)dx \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp{\left\{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right\}}dx \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty} (\sigma z + \mu)^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{z^2}{2} }\;\sigma dz \quad \quad \left( \; z:=\frac{x-\mu}{\sigma} \; \right)\\ &=& \int_{-\infty}^{\infty} (\sigma^2 z^2 + 2\mu\sigma z +\mu^2) \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{z^2}{2} }\;\sigma dz \\ &=& \frac{\sigma^2}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} z^2 e^{-\frac{z^2}{2} } dz +\frac{2\mu\sigma}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} z e^{-\frac{z^2}{2} } dz + \frac{\mu^2}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{z^2}{2} } dz \\ &=& \frac{\sigma^2}{\sqrt{2\pi}} \cdot \sqrt{2\pi} +\frac{2\mu\sigma}{\sqrt{2\pi}} \cdot 0 + \frac{\mu^2}{\sqrt{2\pi}} \cdot \sqrt{2\pi} \\ &=& \sigma^2+\mu^2 \end{eqnarray*}

となる.よって,正規分布の分散は

(13)   \begin{eqnarray*} V(X)&=&E(X^2) - E(X)^2 \\ &=& \sigma^2+\mu^2 - \mu^2 \\ &=& \sigma^2 \end{eqnarray*}

となる.

 

しばしば期待値と平均は同一視されるが,確率論における期待値と統計学における平均とは定義式(計算方法)が異なるため,本稿でもその区別をふまえる.また,分散と標準偏差については,分散が先に定義され,標準偏差はその正平方根となる.

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です