1階 非同次 常微分方程式の例題と解法:直流RL回路【微分方程式】

直流RL回路(抵抗,コイル,直流電源を直列につないだ回路)は,1階常微分方程式によってモデル化することができます.微分方程式の例題として,直流RL回路方程式の解法を示します.

直流RL回路

直流RL回路とは,直流電源,コイル,抵抗の3要素を直列につないだ電気回路であり,1階非同次常微分方程式によって記述できる.

定電圧直流起電力をV_0,コイルの自己インダクタンスをL,抵抗をRとし,回路を流れる電流を時刻tの関数としてI(t)と書くことにすると,コイルによる自己誘導起電力は-L\frac{dI(t)}{dt},抵抗による電圧降下はRI(t)だから,この直流RL回路は

(1)   \begin{equation*} V_0 -L\frac{dI(t)}{dt} = RI(t) \end{equation*}

なる等式を満たす.(1)式の左辺は回路の起電力の合計,右辺は回路の電圧降下である.(1)式は電流I(t)に関する1階非同次常微分方程式であり,解析的に解くことができる.

解法

1階非同次常微分方程式(1)式は,

 1. 式の整理
 2. 同次方程式の一般解を求める
 3. 定数変化法により非同次方程式の一般解を求める
 4. 上記3.で得た一般解に初期条件を与え,特解を求める

を順に行うことで,その解を求めることができる.

1. 式の整理

(1)式を適当に移項して両辺をLで割ることにより,1階非同次常微分方程式

(2)   \begin{equation*} \frac{dI(t)}{dt} + \frac{R}{L}I(t) = \frac{V_0}{L} \end{equation*}

を得る.これを解いて,tの関数I(t)を具体的に求めることが,やるべきことである.

2. 同次方程式の一般解を求める

非同次方程式(2)の解を直接求めることはできないので,まずV_0=0とおいた同次方程式

(3)   \begin{equation*} \frac{dI(t)}{dt} + \frac{R}{L}I(t) = 0 \end{equation*}

をつくり,これを解く.(3)式は変数分離形であることに注意すれば,

(4)   \begin{eqnarray*} \frac{dI(t)}{dt} + \frac{R}{L}I(t) &=& 0 \\ \frac{dI(t)}{dt} &=& -\frac{R}{L}I(t) \\ \frac{dI(t)}{I(t)} &=& -\frac{R}{L}dt \\ \int \frac{dI(t)}{I(t)} &=& -\frac{R}{L}\int dt + C_0 \\ \ln I(t) &=& -\frac{R}{L}t + C_0 \\ \ln I(t) &=& \left(-\frac{R}{L}t + C_0 \right)\cdot \ln e \\ I(t) &=& e^{-\frac{R}{L}t + C_0} \\ I(t) &=& e^{-\frac{R}{L}t}\cdot e^{C_0} \\ I(t) &=& C_1 e^{-\frac{R}{L}t}  \end{eqnarray*}

を得る.これが同次方程式(3)の一般解である.

3. 定数変化法により非同次方程式の一般解を求める

上で求めた同次方程式の一般解

(5)   \begin{equation*} I(t) &=& C_1 e^{-\frac{R}{L}t}  \end{equation*}

に対して,定数変化法を用いる.

定数C_1tの関数C_1(t)によって置き換えた式

(6)   \begin{equation*} I(t) &=& C_1(t) e^{-\frac{R}{L}t}  \end{equation*}

を考え,これを非同次方程式(2)の解とみなしてC_1(t)を決定する.すなわち,(6)を非同次方程式(2)に代入して,C_1(t)について解けばよい.(6)に関する積の微分に注意すると,

(7)   \begin{eqnarray*} \frac{dI(t)}{dt} + \frac{R}{L}I(t) &=& \frac{V_0}{L} \\ && \\ \frac{d}{dt}\left( C_1(t) e^{-\frac{R}{L}t} \right) + \frac{R}{L}C_1(t) e^{-\frac{R}{L}t} &=&\frac{V_0}{L} \\ &&\\ \left( \frac{dC_1(t)}{dt} e^{-\frac{R}{L}t} + C_1(t) \frac{d}{dt} e^{-\frac{R}{L}t}\right) + \frac{R}{L}C_1(t) e^{-\frac{R}{L}t} &=& \frac{V_0}{L} \\ &&\\ \frac{dC_1(t)}{dt} \cdot e^{-\frac{R}{L}t} \; - \; \underline{ C_1(t) \cdot \frac{R}{L} e^{-\frac{R}{L}t} } \; + \; \underline{ \frac{R}{L}C_1(t) e^{-\frac{R}{L}t}} &=& \frac{V_0}{L} \\ &&\\ \frac{dC_1(t)}{dt} e^{-\frac{R}{L}t}  &=& \frac{V_0}{L} \\ &&\\ \frac{dC_1(t)}{dt}  &=& \frac{V_0}{L} e^{\frac{R}{L}t}  \end{eqnarray*}

を得る.さらに,上式両辺をtで積分すれば,

(8)   \begin{eqnarray*} \int \frac{dC_1(t)}{dt} dt  &=& \frac{V_0}{L} \int e^{\frac{R}{L}t} dt + C_2\\ &&\\ C_1(t)  &=& \frac{V_0}{L} \frac{L}{R} e^{\frac{R}{L}t} + C_2 \\ &&\\ C_1(t)  &=& \frac{V_0}{R} e^{\frac{R}{L}t} + C_2  \end{eqnarray*}

を得る.ただし,C_2は不定な積分定数である.これを(6)式に代入すれば,

(9)   \begin{eqnarray*} I(t) &=& C_1(t) e^{-\frac{R}{L}t} \\ && \\ I(t)  &=& \left( \frac{V_0}{R} e^{\frac{R}{L}t} + C_2 \right) e^{-\frac{R}{L}t}\\ \end{eqnarray*}

より,非同次方程式(2)の一般解

(10)   \begin{equation*} I(t)  =  \frac{V_0}{R} + C_2 e^{-\frac{R}{L}t} \end{equation*}

を得る.

4. 上記3.で得た一般解に初期条件を与え,特解を求める

非同次方程式(2)の一般解(10)は不定な定数C_2を含む関数族である.ここに,初期条件を与えること(すなわち,特定の時刻にとる状態をひとつ指定すること)により,特解(すなわちtの関数)を求める.ここでは,初期条件を

(11)   \begin{equation*} I(0)  =  0 \end{equation*}

としたときの特解を求めてみよう.すなわち,(10)が(11)を満たさなければならないので,

(12)   \begin{eqnarray*} I(0)  =  \frac{V_0}{R} + C_2 e^{-\frac{R}{L}\cdot 0} &=& 0 && \\ C_2 &=&  - \frac{V_0}{R} \end{eqnarray*}

を得る.これを再び(10)に代入すれば,初期条件(11)の下での非同次方程式(2)の特解

(13)   \begin{equation*} I(t)  =  \frac{V_0}{R}\left(1-  e^{-\frac{R}{L}t} \right) \end{equation*}

を得る.なお,上式で極限t\to \inftyをとるとき,定常状態としてオームの法則

(14)   \begin{equation*} I  =  \frac{V_0}{R} \end{equation*}

を得る.すなわち,時刻0で定圧起電力V_0を開始する直流RL回路の電流は,コイルの自己誘導起電力に由来する過渡現象を経て,十分時間が経過した後,オームの法則に基づく定常電流となる.

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です