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大学数学の証明と計算｜省略されがちな計算の途中過程を明示します

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## 投稿

- [標準正規分布の求め方，確率変数の標準化の計算方法と意味，正規化との違い【確率論・統計学】](https://k-san.link/standardized/) - 「確率変数の標準化(standardizing)」について説明し，標準正規分布との関係を明らかにします．単純なz=(x-μ)/σなる置き換えでは標準正規分布は導出されないので，確率変数に対する適切な変数変換をおこなう必要があります．正規化・規格化(normalization)との区別にも言及します．
- [不偏推定量：なぜ不偏分散はn-1で割るのか：標本平均と不偏分散が不偏推定量であることを証明する【統計学】](https://k-san.link/unbiased/) - 標本平均は母平均の不偏推定量てあり，不偏分散が母分散の不偏推定量であることを証明します．この証明を通して，不偏分散の定義式にn-1が現れる原因を知ることができます．
- [「和の期待値」＝「期待値の和」の計算：期待値の線形性の証明【確率論】](https://k-san.link/linearity-of-expectation/) - 確率変数ⅩとＹの和の期待値(平均)について，「Ⅹ＋Ｙの平均」＝「Ⅹの平均」＋「Ｙの平均」が成り立ちます．また，定数ａに対して「ａⅩの平均」＝「Ⅹの平均のａ倍」が成り立ちます．これらの性質を合わせた等式（期待値の線形性）を証明します．和の期待値の証明は，ここに含まれます．
- [数学で用いる記号のまとめ](https://k-san.link/math-symbols/)
- [指数関数のテイラー展開とマクローリン展開の計算・証明](https://k-san.link/exp-taylor/) - [latexpage] 指数関数 $e^{ax}$ および $e^x$ の，テイラー展開とマクローリン展開の計指数関数 exp(ax) および exp(x) の，テイラー展開とマクローリン展開の計算方法を示します．
- [三角関数の直交性の証明【フーリエ解析】](https://k-san.link/sin-orthogonality/) - 三角関数の直交性に関しては，巷間，周期・位相差・積分範囲等を限定した証明が多くありますが，ここでは周期を2L，位相差をcとする，より一般的な場合に対する計算を示します．
- [逆変換サンプリング(逆関数法)による乱数生成の証明と例](https://k-san.link/inverse-transform-sampling/) - 逆変換サンプリング（逆関数法）は，コンピュータで疑似乱数を生成する手法のひとつです．生成したい乱数の累積分布関数の逆関数の引数として一様乱数を与えることにより，その累積分布関数に従う乱数が生成します．
- [回転行列による実ベクトルの回転（２次元・３次元）](https://k-san.link/rotation-matrix/) - 回転行列が，ユークリッド空間上のベクトルとの積を取ることによりそのベクトルを回転させる演算子（作用素）として働くことを，三角関数の加法定理を用いて証明します．また，回転行列の転置行列，逆行列，行列式などの性質とその意味を説明します．
- [合成関数の微分・積の微分・商の微分：公式と証明](https://k-san.link/rules-of-derivatives/) - 合成関数の微分法，積の微分法，商の微分法について，公式とその証明を示します．導関数の定義と連続関数の定義を用います．商の微分は，合成関数の微分と積の微分を組み合わせることで導くことができます．[latexpage] 合成関数の微分法，積の微分法，商の微分法について，公式とその証明を示します． 導関数の
- [微分と積分の公式【微積分，高校数学】](https://k-san.link/diff-formulas-01/)
- [指数分布の計算：期待値(平均)，分散，標準偏差，累積分布関数の求め方【確率論】](https://k-san.link/exp-dist-01/) - 指数分布の確率密度関数から，指数確率変数の期待値(平均) E(X)，分散 V(X)，標準偏差 √V(X)，および指数分布の累積分布関数FX(x) を計算する方法を示します．一般に，連続確率変数の期待値は，確率密度関数とその引数の積を積分することにより得られます．
- [ポアソン分布の計算：期待値(平均)，分散，標準偏差の求め方【確率論】](https://k-san.link/poisson-dist-01/) - ポアソン分布の確率質量関数から，ポアソン確率変数の期待値(平均) E(X)，分散 V(X)，標準偏差 √V(X) を計算する方法を示します．一般に，離散確率変数の期待値は，確率質量関数とその引数の積の総和として定義されます．
- [正規分布の計算：期待値(平均)，分散，標準偏差の求め方【確率論】](https://k-san.link/normal-dist-01/) - 正規分布の確率密度関数から，正規確率変数の期待値(平均)，分散，標準偏差を計算する方法を示します．計算の過程で，ガウス積分の公式を用います．一般に，連続確率変数の期待値は，確率密度関数とその引数の積を積分することにより得られます．
- [二項分布の計算：期待値(平均)，分散，標準偏差の求め方【確率論】](https://k-san.link/binomial-dist-01/) - 二項分布の確率質量関数から，二項確率変数の期待値(平均)，分散，標準偏差を計算する方法を示します．一般に，離散確率変数の期待値は，確率質量関数とその引数の積の総和として定義されます．
- [ベルヌーイ分布の計算：期待値(平均)，分散，標準偏差の求め方【確率論】](https://k-san.link/bernoulli-dist-01/) - ベルヌーイ分布の確率質量関数から，ベルヌーイ確率変数の期待値(平均)，分散，標準偏差を計算する方法を示します．ベルヌーイ分布は1回のベルヌーイ試行が従う確率分布であり，試行回数n=1とした二項分布B(1,p)に一致します．
- [線形写像および線形空間の同型の定義](https://k-san.link/linear-mapping/) - [latexpage] 線形写像（線形作用素）の定義，および 線形空間における同型写像および同型の定義を述べま線形写像（線形作用素）の定義，および 線形空間における同型写像および同型の定義を述べます．
- [ベクトル解析の公式と証明](https://k-san.link/vector-analysis-formula/) - ベクトル解析の諸公式と，その証明を示します．ナブラやラプラシアン，ベクトル解析の計算に関する基本事項についても，簡単に述べます．
- [内積(ベクトルの内積)とは？定義・公式・計算例・意味・英語訳【線形代数】](https://k-san.link/inner-product/) - ベクトルの内積には2種類の定義の仕方があります。ひとつは長さと交角による定義で，もうひとつはベクトルの成分の積和による定義です。内積は2次元平面上のベクトルについて導入され，後者の定義から多次元ベクトルの内積へと拡張されます。内積が定義されると，空間にノルムを導入できます。ベクトルの内積は，行列の積とも関係しています。
- [指数分布とは何か【確率論】](https://k-san.link/exponential-distribution/) - 指数分布の定義，確率密度関数や累積分布関数のグラフの概形，期待値や分散，モーメント母関数，特性関数，キュムラント母関数について説明します．
- [常微分方程式の定義【微分方程式】](https://k-san.link/diffeq-definition/) - [latexpage] 常微分方程式の定義を述べ，常微分方程式の正規形，一般解と特解（特殊解），常微分方程式と常微分方程式の定義を述べ，常微分方程式の正規形，一般解と特解（特殊解），常微分方程式と偏微分方程式の違い，などについて説明します．
- [ベクトル空間(線形空間)および計量ベクトル空間(内積空間)の定義と公理【線形代数】](https://k-san.link/vector-space/) - [latexpage] ベクトル空間（線形空間）および計量ベクトル空間（内積空間）の定義を述べます． ベクトルベクトル空間（線形空間）および計量ベクトル空間（内積空間）の定義を述べます．ベクトル空間は，和とスカラー倍の演算について閉じた集合です．ベクトル空間は，特に，係数体が実数体であるベクトル空間を実ベクトル空間といい，係数体が複素数体であるベクトル空間を複素ベクトル空間といいます．ベクトル空間に対して内積の演算が付加された集合を，計量ベクトル空間といいます．
- [正規分布（ガウス分布）とは何か【確率論】](https://k-san.link/normal-distribution/) - [latexpage] 正規分布（ガウス分布）の定義，確率密度関数および累積分布関数とそのグラフ，期待値と分散正規分布（ガウス分布）の定義，確率密度関数および累積分布関数とそのグラフ，期待値と分散，積率母関数（モーメント母関数），特性関数，キュムラント母関数，正規乱数の生成アルゴリズム，などについて説明します．また，正規分布と二項分布の関係，中心極限定理および大数の法則との関連性について述べます．
- [大数の法則の証明と意味【確率論】](https://k-san.link/law-of-large-numbers/) - 「大数の強法則」および「大数の弱法則」を説明し，大数の弱法則を証明します．そのためにチェビチェフの不等式も証明します．また，大数の法則と中心極限定理の関係を述べます．
- [主成分分析の計算を詳しく：未定乗数法・固有値問題・分散共分散行列【多変量解析】](https://k-san.link/pca-01/)
- [ヤコビアンの定義・意味・例題（２重積分の極座標変換・変数変換）【微積分】](https://k-san.link/jacobian-def/) - ヤコビアン（ヤコビ行列／行列式）の定義を示します．ヤコビアンは多変数関数の積分（多重積分）の変数変換で現れます．2次元直交座標系から極座標系への変換を例示します．微小面積素と外積(ウェッジ積)との関係を調べ，面積分でヤコビアンに絶対値がつく理由を述べます．
- [ガウス積分の公式を証明/導出する【微積分】](https://k-san.link/gaussian-integral/) - ガウス積分の公式の導出方法を示します．より一般的な「指数部が多項式である場合」についても説明し，正規分布（ガウス分布）との関係を述べます．ヤコビアンを用いて２重積分の極座標変換をおこないます．ガウス積分は正規分布の期待値や分散を計算する際にも必要となります．
- [期待値(平均)・分散・標準偏差の定義と計算 公式 求め方【確率論】](https://k-san.link/expected-value/) - 確率論における期待値(平均)・分散・標準偏差の定義と計算方法を示します．期待値は確率密度関数（または確率質量関数）が与えられたときに，その引数との積の積分（または総和）として計算されます。期待値は，統計学における標本平均とは区別される概念です．
- [正規分布の再生性の証明：和の分布の計算と畳み込み【確率論】](https://k-san.link/normal-reproductive/) - 互いに独立な正規確率変数の和の分布が再び正規分布となること，すなわち正規分布が再生性を持つことを証明します．正規分布の畳み込み計算の詳細を示します．
- [経験分布関数とは何か：定義・求め方・エクセルのグラフ【統計学】](https://k-san.link/edf/) - 未知の確率分布に従って生成されたn個のデータ（標本）を用いて，この未知の確率分布の累積分布関数を推定したものが経験分布関数です．ヒストグラムは，その形状がデータをカウントする区間の幅（級間隔）の決め方に依存しますが，経験分布関数では，与えられたデータに対してグラフを一意に描くことができます．
- [指数分布の和はアーラン分布となることを証明する/アーラン分布の導出【確率論】](https://k-san.link/exp-erlang/) - 指数分布に従う独立な確率変数の和はアーラン分布に従うこと，すなわちアーラン分布は指数分布の和の分布として導出されることを示します．指数分布およびアーラン分布は待ち行列理論において頻出します． 
- [1階 非同次 常微分方程式の例題と解法：直流RL回路【微分方程式】](https://k-san.link/rl-circuit-dc/) - 直流RL回路(抵抗，コイル，直流電源を直列につないだ回路)は，1階常微分方程式によってモデル化することができます．微分方程式の例題として，直流RL回路方程式の解法を示します．
- [重回帰分析の計算 【多変量解析】](https://k-san.link/linear-regression-01/) - 多次元の説明変数と1次元の被説明変数との間に線形関係があると仮定し，そのパラメータの値を推定することを，線形重回帰分析といいます．本稿では最小二乗法に基づく線形重回帰分析の計算法を詳述します．
- [統計的推定，点推定値，推定量の定義と意味【統計学】](https://k-san.link/statistical-estimation/)
- [確率論と統計学の表記法と意味](https://k-san.link/prob-notations/)
- [二項分布を正規分布で近似する計算と証明：中心極限定理の特殊な場合【確率論】](https://k-san.link/binomial-normal/) - 二項分布B(n,p)の確率変数Xについて，試行回数nが十分大きいとき，Xは近似的に正規分布 Norm(np, np(1-p)) に従うことを示します．二項分布の正規分布近似は，二項分布の確率質量関数の期待値周りにおけるテイラー展開によってなされます．この近似は，中心極限定理の特殊な場合と解釈することができます．ただし，中心極限定理それ自体は，有限な期待値と分散を持つような一般のi.i.d.確率変数に対して成り立つもので，確率変数が二項分布に従う場合に限りません．
- [正規分布の特性関数の導出・計算・求め方【確率論】](https://k-san.link/characteristic-normal-dist/)
- [特性関数・モーメント母関数(積率母関数)・キュムラント：定義と意味，期待値(平均)・分散との関係【確率論】](https://k-san.link/characteristic-moment-cumulant/) - 特性関数・積率母関数(モーメント母関数)・キュムラント母関数，および モーメント・キュムラントの定義と意味を説明します．また，それらと期待値(平均)・分散との関係について述べます．母関数とは，ある数列や関数列を，そのべき級数展開の係数として持つ関数のことで，モーメント母関数はn次モーメントを展開係数として持ちます．
- [誤差関数と正規分布の累積分布関数【確率論】](https://k-san.link/error-function/) - 誤差関数(error function)を定義し，そのグラフを描きます．また正規分布のCDFを誤差関数で表すための計算を示します．相補誤差関数(complementary error function)についても説明します．
- [ポアソン分布とは何か【確率論】](https://k-san.link/poisson-distribution/)
- [回帰分析の意味と計算](https://k-san.link/regression/)
- [2階線形常微分方程式の標準形とその一般解の求め方【微分方程式】](https://k-san.link/canonical-2nd-diffeq/) - ２階線形常微分方程式の標準形と，その一般解の求め方を説明します．
- [2階線形常微分方程式から標準形への変換・導出【微分方程式】](https://k-san.link/canonical-2nd-diffeq-transform/) - 斉次２階線形常微分方程式を，変数変換によって標準形に書き直す方法を説明します．
- [2階線形常微分方程式の解き方・一般解の求め方：同次(斉次)・定数係数の場合【微分方程式】](https://k-san.link/homogeneous-2nd-diffeq/) - 定数係数の斉次（同次）２階線形常微分方程式の一般解の求め方を説明します．標準形の微分方程式に変形して解く方法と，特性方程式および定数変化法を用いて解く方法の，2種類の解法があります．
- [ベクトルと関数の線形従属・線形独立の定義と意味](https://k-san.link/linearly-dependent/) - ベクトルと関数の線形従属・線形独立（1次従属・1次独立）の，定義と意味を説明します．
- [関数の線形独立の証明とロンスキアン(ロンスキー行列式)](https://k-san.link/wronskian-linear-denentent/) - ロンスキアン（ロンスキー行列式）を用いた，関数の線形従属・線形独立（1次従属・1次独立）の証明について説明します．また，ロンスキアンを用いてsin(正弦)とcos(余弦)の線形独立性を証明します．
- [確率分布の再生性とは何か【確率論，和の分布】](https://k-san.link/reproductive-property/) - 確率分布の再生性とは，ある確率分布に従う確率変数X1とX2があったとき，その和Y:=X1+X2もまた元の確率分布に従う性質のことです．
- [ガンマ分布の和 再生性の証明【確率論，和の分布，畳み込み，指数分布】](https://k-san.link/gamma-reproductive/) - ガンマ確率変数X1，X2の和Y:=X1＋X2が再びガンマ分布に従うこと，すなわちガンマ分布が再生性を持つことを示します．
- [アーラン分布の和 再生性の証明【確率論，和の分布，畳み込み，指数分布】](https://k-san.link/erlang-reproductive/) - アーラン確率変数X1，X2の和Y:=X1＋X2が再びアーラン分布に従うこと，すなわちアーラン分布が再生性を持つことを示します．
- [変数分離形の1階常微分方程式：解法と例題・一般解と特殊解【微分方程式】](https://k-san.link/1st-diffeq-01/) - 一階常微分方程式（変数分離形）の解き方を説明し，例題について一般解と特殊解を求めます．
- [1階常微分方程式の定義と主な形式一覧](https://k-san.link/1st-ordinary-diffeq/)
- [三角関数で覚えておくべきものは加法定理と単位円だけ？【高校数学】](https://k-san.link/addition-theorem/)
- [確率変数の和の分布を計算する【確率論，畳み込み】](https://k-san.link/sum-random-variables/) - 確率変数X1，X2が従う確率密度関数f1，f2が与えられたとき，その和Y:=X1+X2が従う確率密度関数fYを計算する一般的な方法を示します．正規分布・ガンマ分布・指数分布などの和の分布を計算する際，分布ごとに畳み込みの積分範囲が異なる理由が明らかになります．
- [フーリエ変換の公式 導出：フーリエ級数展開の定義から証明・計算する【フーリエ解析】](https://k-san.link/fourier/) - フーリエ変換は３ステップで導出されます：(1)三角関数の和で周期関数を近似する『フーリエ級数展開』(2)周期→∞とし非周期関数を近似する『フーリエ積分』(3)その被積分関数を取り出して得られる『フーリエ変換』．これらの精確な定義と計算過程を示します．三角関数の直交性を用います．
- [自己回帰モデルのパラメータの最小二乗推定【時系列解析，統計学】](https://k-san.link/ar-process/) - 最小二乗法を用いて，与えられたデータから $p$ 次の自己回帰モデルのパラメータを推定する方法を示します．
- [ポアソン分布の和の計算：再生性の証明 ・和の分布と畳み込み【確率論】](https://k-san.link/poisson-reproductive/) - 「互いに独立なポアソン確率変数の和は，再びポアソン分布に従うこと」，すなわち，ポアソン分布が再生性を持つことを証明します．ポアソン分布の畳み込み計算の詳細を示します．
- [中心極限定理の証明と意味【確率論】](https://k-san.link/central-limit-theorem/) - 中心極限定理を証明します．中心極限定理は，確率・統計において正規分布が特に重要であることの理論的根拠です．元の分布にかかわらずiid確率変数の相加平均が分布に従うようになる，分布収束（法則収束）の重要な一例でもあります．証明には特性関数とキュムラントを用いるのでその解説もおこないます．
- [逆行列補題の証明【線形代数，統計学，制御工学 他】](https://k-san.link/inverse-matrix-lemma/) - 逆行列補題（Sherman-Morrison-Woodbury 公式）の証明を行います．この補題は，最小二乗法から逐次形最小二乗法（再帰最小二乗フィルタ）を導出する際などに用いられます.
- [記事一覧（カテゴリー別）](https://k-san.link/articlelist/)
- [PROOF: Reproductive Property of the Gamma Distribution / Probability Theory](https://k-san.link/gamma-reproductive-en/) - We show the sum of two gamma-distributed random variables follows the gamma distribution: i.e. the gamma distribution has the reproductive property.

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