フーリエ変換の公式導出：フーリエ級数展開の定義から証明・計算する【フーリエ解析】

【この記事の概要】

フーリエ変換は３ステップで導出されます：(1)三角関数の和で周期関数を近似する『フーリエ級数展開』(2)周期→∞とし非周期関数を近似する『フーリエ積分』(3)その被積分関数を取り出して得られる『フーリエ変換』これらの精確な定義と計算過程を示します．三角関数の直交性を用います．

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フーリエ級数からフーリエ変換の公式導出のあらすじとフーリエ変換の意味

本稿では，周期関数のフーリエ級数展開の定義からはじめて，関数のフーリエ変換の公式を導出する計算過程を示す．フーリエ変換導出には，次の３ステップを要する．

フーリエ変換導出の３ステップ

三角関数の重ね合わせによって周期関数を近似する『フーリエ級数展開』を定義する．
フーリエ級数の周期を無限大として，周波数に関する和を積分に読み替え，非周期関数を近似する『フーリエ積分』を導出する．
フーリエ積分から周波数に関する被積分関数を取り出して，〈元の関数〉から〈周波数の関数〉への変換である『フーリエ変換』を得る．

大まかに言って，フーリエ変換は，元の関数をフーリエ級数展開した係数（フーリエ係数）を連続化したようなものである．そして，そのフーリエ係数の決定には「三角関数の直交性」が本質的な働きをしている．

三角関数の直交性の証明【フーリエ解析】

2016年11月7日

フーリエ級数展開とフーリエ変換(Fourier series and Fourier transform)

フーリエ級数

区間 $-L +c \le x < L + c$ における，周期 $2L$ の区分的になめらかな周期関数 $f(x)$ のフーリエ級数展開は

(1) $\begin{equation*} f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum^{\infty}_{n=1} \left(a_n \cos \frac{n\pi x}{L} + b_n \sin \frac{n\pi x}{L} \right) \end{equation*}$

ただし，フーリエ係数 $a_n$ ， $b_n$ は

(2) $\begin{equation*} a_n = \frac{1}{L}\int^{L+c}_{-L+c} f(u) \cos \frac{n\pi u}{L} \: du \qquad(n=0,1,2,\cdots) \end{equation*}$

(3) $\begin{equation*} b_n = \frac{1}{L}\int^{L+c}_{-L+c} f(u) \sin \frac{n\pi u}{L}\: du \qquad(n=1,2,3,\cdots) \end{equation*}$

である．

三角関数の直交性(orthogonality)

$\forall m,n \in {\mathbb N}$ に対して，次式が成り立つ．

(4) $\begin{equation*} \int^{\beta}_{\alpha} \sin \frac{n\pi x}{L}\sin \frac{m\pi x}{L}\: dx = L\delta_{mn} \end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} \int^{\beta}_{\alpha} \cos \frac{n\pi x}{L}\cos \frac{m\pi x}{L}\: dx = L\delta_{mn} \end{equation*}$

(6) $\begin{equation*} \int^{\beta}_{\alpha} \sin \frac{n\pi x}{L}\cos \frac{m\pi x}{L}\: dx = 0 \end{equation*}$

ただし $\alpha:=-L+c$ および $\beta:=L+c$ である．

(4)～(6)式を示す．
[三角関数の直交性の証明についてはこちら]

(2)式右辺に(1)式を代入すると，

(7) $\begin{eqnarray*} &&\frac{1}{L}\int^{L+c}_{-L+c} f(u) \cos \frac{m\pi u}{L} \: du \nonumber \\ &=&\frac{1}{L}\int^{L+c}_{-L+c} \left\{\frac{a_0}{2} + \sum^{\infty}_{n=1} \left(a_n \cos \frac{n\pi x}{L} + b_n \sin \frac{n\pi x}{L} \right) \right\} \cos \frac{m\pi u}{L} \: du \nonumber \\ &=&\frac{1}{L} \left\{ \frac{a_0}{2} \int^{L+c}_{-L+c} \cos \frac{m\pi u}{L} \: du + \sum^{\infty}_{n=1} a_n \int^{L+c}_{-L+c} \cos \frac{n\pi u}{L} \cos \frac{m\pi u}{L} \: du \right \\ && \quad \quad \quad \left + \sum^{\infty}_{n=1} b_n \int^{L+c}_{-L+c} \sin \frac{n\pi u}{L} \cos \frac{m\pi u}{L} \: du \right\} \nonumber \\ &=&\frac{1}{L} \left\{ \frac{a_0}{2} \cdot 0 + \sum^{\infty}_{n=1} a_n \cdot L\delta_{mn} + \sum^{\infty}_{n=1} b_n \cdot 0 \right\} \nonumber \\ &=& a_m \end{eqnarray*}$

を得る．すなわち(2)式はwell-definedである．同様に，(3)式右辺に(1)式を代入することで(3)式のwell-definednessを確かめることができる．

複素形式のフーリエ級数

$e^{\theta} = \cos{\theta} +i \sin {\theta}$ に注意すると

(8) $\begin{eqnarray*} a_n \cos \frac{n\pi x}{L} + b_n \sin \frac{n\pi x}{L} &=& a_n \frac{e^{i{n\pi x}/{L}}+e^{-i{n\pi x}/{L}}}{2} + b_n \frac{e^{i{n\pi x}/{L}}-e^{-i{n\pi x}/{L}}}{2i} \nonumber \\ &=& \frac{a_n-ib_n}{2}e^{i{n\pi x}/{L}} + \frac{a_n+ib_n}{2}e^{-i{n\pi x}/{L}} \end{eqnarray*}$

を得る．ここで

(9) $\begin{equation*} c_0 := \frac{a_0}{2}, \: c_n := \frac{a_n-ib_n}{2}, \: c_{-n} := \frac{a_n+ib_n}{2}\quad (n=1,2,\cdots) \end{equation*}$

などとすると，これらをまとめて

(10) $\begin{eqnarray*} c_n &=& \frac{a_n - ib_n}{2} \nonumber \\ &=& \frac{1}{2L}\int^{L+c}_{-L+c} f(u) \left( \cos \frac{n\pi u}{L} - i \sin \frac{n\pi u}{L} \right) \: du \nonumber \\ &=& \frac{1}{2L}\int^{L+c}_{-L+c} f(u)\: e^{- in\pi u/L} \: du \qquad (n=\cdots,-1,0,1,\cdots) \end{eqnarray*}$

とできることが分かる．したがって(1)式は

(11) $\begin{equation*} f(x) = \sum^{\infty}_{n=-\infty} c_{n}e^{in\pi x/L} \end{equation*}$

と書き直すことができる．(10)を複素フーリエ係数，(11)を関数 $f(x)$ の複素フーリエ級数という．

フーリエ積分

フーリエ級数展開される関数 $f(x)$ が非周期関数の場合， $L\to \infty$ とすることによって，フーリエ級数はフーリエ積分と呼ばれるものになる．(2)式と(3)式の積分区間を $-L\le u < L$ とし，(1)式に代入すれば

(12) $\begin{eqnarray*} f(x) &=& \frac{1}{2L} \int^{L}_{-L} f(u)du \nonumber \\ &+& \frac{1}{L}\sum^{\infty}_{n=1} \left( \cos \frac{n\pi x}{L} \int^{L}_{-L} f(u) \cos \frac{n\pi u}{L}du + \sin \frac{n\pi x}{L} \int^{L}_{-L} f(u) \sin \frac{n\pi u}{L} du \right) \end{eqnarray*}$

を得る．

(13) $\begin{equation*} \omega_n := 2\pi\frac{n}{2L}, \quad \Delta \omega:= \omega_{n+1} - \omega_n = \frac{\pi}{L} \end{equation*}$

とすると， $1/L = \Delta \omega / \pi$ より，(12)式の右辺第2項は

(14) $\begin{equation*} \frac{\Delta \omega}{\pi} \sum^{\infty}_{n=1} \left( \cos \omega_n x \int^{L}_{-L} f(u) \cos \omega_n u du + \sin \omega_n x \int^{L}_{-L} f(u) \sin \omega_n u du \right) \end{equation*}$

となる．また，非周期関数 $f(x)$ が絶対積分可能である（i.e. $\int^{\infty}_{-\infty} |f(u)|du$ が存在する）と仮定すると， $L\to \infty$ としたとき(12)式の右辺第1項は0となる．さらに， $L\to \infty$ のとき $\Delta \omega \to 0$ となり $\omega_n$ は連続変数とみなせるため，和を積分に変えることができる．すなわち，

(15) $\begin{eqnarray*} f(x) &=& \lim_{\Delta \omega \to 0} \frac{1}{\pi} \sum^{\infty}_{n=1} \left( \cos \omega_n x \int^{\infty}_{-\infty} f(u) \cos \omega_n u du + \sin \omega_n x \int^{\infty}_{-\infty} f(u) \sin \omega_n u du \right) \Delta \omega \nonumber \\ &=& \frac{1}{\pi} \int^{\infty}_{0} \left( \cos \omega x \int^{\infty}_{-\infty} f(u) \cos \omega u du + \sin \omega x \int^{\infty}_{-\infty} f(u) \sin \omega u du \right) d \omega \nonumber \\ &=& \frac{1}{\pi} \int^{\infty}_{0} \left\{ \int^{\infty}_{-\infty} f(u) \left( \cos \omega x \cos \omega u + \sin \omega x \sin \omega u \right) du \right\} d \omega \nonumber \\ &=& \frac{1}{\pi} \int^{\infty}_{0} \left\{ \int^{\infty}_{-\infty} f(u) \cos \omega \left( x - u \right) du \right\} d \omega \end{eqnarray*}$

ここで得られた

(16) $\begin{equation*} f(x) = \frac{1}{\pi} \int^{\infty}_{0} d \omega \int^{\infty}_{-\infty} f(u) \cos \omega \left( x - u \right) du \end{equation*}$

を，フーリエ積分公式という．また，(16)式は

(17) $\begin{eqnarray*} f(x) &=& \frac{1}{\pi} \int^{\infty}_{0} d \omega \int^{\infty}_{-\infty} f(u) \cos \omega \left( x - u \right) du \nonumber \\ &=& \frac{1}{\pi} \int^{\infty}_{0} d \omega \int^{\infty}_{-\infty} f(u) \frac12 \left(e^{i\omega \left( x - u \right)}+e^{-i\omega \left( x - u \right)} \right) du \nonumber \\ &=& \frac{1}{2\pi} \int^{\infty}_{-\infty} d \omega \int^{\infty}_{-\infty} f(u) e^{i\omega \left( x - u \right)} du \end{eqnarray*}$

のように書くこともできる．

フーリエ変換

フーリエ積分(17)の $\omega$ に関する被積分関数を取り出して

(18) $\begin{equation*} F(\omega) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{\infty}_{-\infty} f(u) e^{-i\omega u} du \end{equation*}$

のように関数 $F(\omega)$ を定義し，これを $f(x)$ のフーリエ変換という．(17)式に(??)を代入すれば，もとの関数 $f(x)$ が得られる：

(19) $\begin{equation*} f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{\infty}_{-\infty} F(\omega) e^{i\omega x} d \omega. \end{equation*}$

これをフーリエ逆変換という．

フーリエ変換，フーリエ逆変換は定義に係数部分の不定性があり，

(20) $\begin{eqnarray*} F(\omega) &:=& \int^{\infty}_{-\infty} f(u) e^{-i\omega u} du \\ f(x) &=& \frac{1}{2\pi} \int^{\infty}_{-\infty} F(\omega) e^{i\omega x} d \omega \end{eqnarray*}$