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線形写像および線形空間の同型の定義

【この記事の概要】

線形写像（線形作用素）の定義，および線形空間における同型写像および同型の定義を述べます．

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線形写像（線形作用素）の定義

線形写像（線形作用素）の定義

${\bf V}$

， ${\bf W}$

を，係数体 $K$

上のベクトル空間（線形空間）とする． ${\bf V}$

から ${\bf W}$

への写像

(1) $\begin{equation*} T:{\bf V} \to {\bf W} \end{equation*}$

が， $^\forall a \in K$ ， $\; ^\forall{\bf x},{\bf y}\in {\bf V}$ に対して，次の2つの条件

(2) $\begin{equation*} T({\bf x}+{\bf y})=T({\bf x})+T({\bf y}) \end{equation*}$

(3) $\begin{equation*} T(a{\bf x})=aT({\bf x}) \end{equation*}$

を満たすとき， $T$ を ${\bf V}$ から ${\bf W}$ への 線形写像(linear mapping) あるいは 線形作用素(linear operator) という．

ベクトル空間（線形空間）の詳細については，以下の記事を参照のこと．

ベクトル空間(線形空間)および計量ベクトル空間(内積空間)の定義と公理【線形代数】

2021年2月9日

線形変換の定義

線形写像 $T$ の定義域(domain) と終域(codomain) が同一である場合，すなわち $T$ が ${\bf V}$ から ${\bf V}$ への線形写像

(4) $\begin{equation*} T:{\bf V} \to {\bf V} \end{equation*}$

である場合，特にこれを 線形変換(linear transformation) ということがある．

ただし，定義域と終域が異なる，一般の線形写像（線形作用素）を，線形変換と呼んでいる場合もしばしばあり，文脈によって判断する必要はある．

線形空間の同型写像および同型の定義

線形空間の同型写像および同型の定義

${\bf V}$

， ${\bf W}$

を体 $K$

上のベクトル空間とし， $T:{\bf V}\to {\bf W}$

を線形写像とする．

$T$ が全単射であるとき， $T$ は ${\bf V}$ から ${\bf W}$ の上への 同型写像(isomorphism)，あるいは ${\bf V}$ と ${\bf W}$ との間の同型対応という．

また， ${\bf V}$ から ${\bf W}$ への同型写像が存在するとき， ${\bf V}$ と ${\bf W}$ とは互いに同型である(isomorphic) といい，

(5) $\begin{equation*} {\bf V}\cong{\bf W} \end{equation*}$

と表す．

なお，上の定義は「線形空間の同型写像および同型」であり，同型写像および同型の概念は，代数系の上の全単射準同型写像として，線形空間に限らない形に一般化することができる．

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