回転行列は,ユークリッド空間上のベクトルとの積を取ることにより,そのベクトルを回転させる演算子(作用素)として働きます.このことを,2次元回転行列および3次元回転行列に関して,三角関数の加法定理を用いて証明します.また,回転行列の転置行列,逆行列,行列式などの性質とその意味を説明します.
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目次
2次元回転行列
2次元回転行列とは
行列 は,2次元ベクトルに左から作用させることにより,原点の周りでベクトルを角度
だけ回転させる.
(2)
の模式図を示す.

回転行列がベクトルを回転させることの証明(2次元)
2次元直交座標上の任意の実ベクトル は,適当な
および
を用いて
(3)
と書ける(ただし ).また,このベクトル
を原点の周りに角度
だけ回転させたベクトル
は,
(4)
と書ける.
他方,ベクトル に,式(1)で定義される2次元回転行列
を掛けると,ベクトルと行列の積,および三角関数の加法定理に注意して,
(5)
(6)
となることがわかる.
結局,式(1)で定義される回転行列 は,2次元直交座標上のベクトル
を原点の周りに角度
だけ回転させる作用の,行列表現であることが示された.
2次元回転行列の積
上式(7)は,次のことを意味する.2つの2次元回転行列の積 は,左から作用させることで,ベクトルを角度
だけ回転させた後,さらに角度
だけ回転させる.これは,双方を合わせてベクトルを角度
だけ回転させること,すなわち回転行列
を作用させることに等しい.
上式(7)は,次の通りに確かめることができる:
(8)
2次元回転行列の逆行列と逆回転
上式(9)は,次のことを意味する. は,左から作用させることで,ベクトルを角度
だけ回転させた後,さらに角度
だけ回転させる(すなわち元の角度分だけ逆回転させる).これは,双方を合わせてベクトルを角度
だけ回転させたのちに元に戻すこと,すなわち何もしないことに等しく,あるいは単位行列
を作用させることに等しい.またこのことは,行列
が
の「逆の操作」であり,逆行列
に等しいことを意味し,式(10)として表せる.
(11)
上式(9)は,次の通りに確かめることができる. について,
(12)
となる.また についても同様にして,
を確かめることができる.
さらに,一般の正方行列 に対して,
を満たすような正方行列
は,
の逆行列といい,
で表す.
は,
に対して,この逆行列の定義を満たしていることから,
の逆行列を
と書くことにすれば,式(10) を得る.
3次元回転行列
3次元回転行列とは
3次元直交座標上のベクトル を,
軸; あるいは ベクトル
軸; あるいは ベクトル
軸; あるいは ベクトル
の周りで角度 だけ回転させる演算子
,
,
は,それぞれ次の
行列で表すことができる:
行列 ,
,
は,3次元ベクトルに左から作用させることにより,それぞれ
軸,
軸,
軸の周りで,ベクトルを角度
だけ回転させる.
(16)
の模式図を示す.

回転行列がベクトルを回転させることの証明(3次元)
3次元直交座標上の任意の実ベクトル は,円柱座標系
,
,
を用いて
(17)
と書ける(ただし ).また,このベクトル
を
軸の周りで角度
だけ回転させたベクトル
は,
(18)
と書ける.
他方,ベクトル に,式(15)で定義される,
軸周りの回転行列
を掛けると,ベクトルと行列の積,および三角関数の加法定理に注意して,
(19)
(20)
となることがわかる.
結局,式(15)で定義される, 軸周りの回転行列
は,3次元直交座標上のベクトル
を,
軸の周りで角度
だけ回転させる作用の,行列表現であることが示された.
軸周りの回転行列
および
軸周りの回転行列
についても,円柱座標系を適当に設定することにより,同様にベクトルの回転を確かめることができる.
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