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回転行列による実ベクトルの回転（２次元・３次元）

回転行列は，ユークリッド空間上のベクトルとの積を取ることにより，そのベクトルを回転させる演算子（作用素）として働きます．このことを，２次元回転行列および３次元回転行列に関して，三角関数の加法定理を用いて証明します．また，回転行列の転置行列，逆行列，行列式などの性質とその意味を説明します．

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２次元回転行列

２次元回転行列とは

２次元回転行列
２次元直交座標上の実ベクトル {\bf r} = (x,y) \in {\mathbb R}^2 を，原点の周りで角度 \alpha だけ回転させる演算子(operator) R(\alpha) は，次の 2\times 2 行列で表すことができる：

(1)   \begin{equation*} R(\alpha) = \left( \begin{array}{cc} \cos \alpha & - \sin \alpha\\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array} \right) \end{equation*}

行列 R(\alpha) は，２次元ベクトルに左から作用させることにより，原点の周りでベクトルを角度 \alpha だけ回転させる．

以下に R(\alpha) によるベクトルの回転

(2)   \begin{equation*} R(\alpha):{\mathbb R}^2 \to {\mathbb R}^2:{\bf r} \mapsto {\bf r}' \end{equation*}

の模式図を示す．

回転行列がベクトルを回転させることの証明（2次元）

２次元直交座標上の任意の実ベクトル {\bf r} = (x,y) は，適当な r \in [0, \infty) および \theta \in [0, 2\pi) を用いて

(3)   \begin{equation*} {\bf r} = \left( \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} r \cos \theta\\ r \sin \theta \end{array} \right) \end{equation*}

と書ける（ただし r=|{\bf r}|=\sqrt{x^2+y^2} ）．また，このベクトル {\bf r} を原点の周りに角度 \alpha だけ回転させたベクトル {\bf r}' = (x',y') は，

(4)   \begin{equation*} {\bf r}' = \left( \begin{array}{c} x'\\ y' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} r \cos (\theta + \alpha)\\ r \sin (\theta + \alpha) \end{array} \right) \end{equation*}

と書ける．

他方，ベクトル {\bf r} に，式(1)で定義される２次元回転行列 R(\alpha) を掛けると，ベクトルと行列の積，および三角関数の加法定理に注意して，

(5)   \begin{eqnarray*} && R(\alpha)\;{\bf r} \\ &=& \left( \begin{array}{cc} \cos \alpha & - \sin \alpha\\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} r \cos \theta\\ r \sin \theta \end{array} \right)\\ &=& \left( \begin{array}{c} r \cos \theta \cos \alpha - r \sin \theta \sin \alpha\\ r \sin \theta \cos \alpha + r \cos \theta \sin \alpha \end{array} \right)\\ &=& \left( \begin{array}{c} r \cos (\theta + \alpha)\\ r \sin (\theta + \alpha) \end{array} \right)\\ &=& {\bf r}' \end{eqnarray*}

すなわち

(6)   \begin{equation*} {\bf r}'= R(\alpha)\;{\bf r} \end{equation*}

となることがわかる．

結局，式(1)で定義される回転行列 R(\alpha) は，２次元直交座標上のベクトル {\bf r} = (x,y) を原点の周りに角度 \alpha だけ回転させる作用の，行列表現であることが示された．

２次元回転行列の積

２次元回転行列の積
２つの２次元回転行列 R(\alpha)，R(\beta) の積について，次式が成り立つ．

(7)   \begin{equation*} R(\alpha)R(\beta) = R(\alpha + \beta) \end{equation*}

上式(7)は，次のことを意味する．２つの２次元回転行列の積 R(\alpha)R(\beta) は，左から作用させることで，ベクトルを角度 \beta だけ回転させた後，さらに角度 \alpha だけ回転させる．これは，双方を合わせてベクトルを角度 \alpha + \beta だけ回転させること，すなわち回転行列 R(\alpha+\beta) を作用させることに等しい．

上式(7)は，次の通りに確かめることができる：

(8)   \begin{eqnarray*} && R(\alpha)R(\beta)\\ &=& \left( \begin{array}{cc} \cos \alpha & - \sin \alpha\\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \cos \beta & - \sin \beta\\ \sin \beta & \cos \beta \end{array} \right)\\ &=& \left( \begin{array}{cc} \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta & - \sin \alpha \cos \beta - \cos \beta \sin \alpha\\ \sin \alpha \cos \beta + \cos \beta \sin \alpha & \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \end{array} \right)\\ &=& \left( \begin{array}{cc} \cos ( \alpha + \beta ) & - \sin ( \alpha + \beta ) \\ \sin ( \alpha + \beta ) & \cos ( \alpha + \beta ) \end{array} \right)\\ &=& R(\alpha + \beta) \end{eqnarray*}

２次元回転行列の逆行列と逆回転

２次元回転行列の逆行列と逆回転
２次元回転行列 R(\alpha) について，次式が成り立つ．

(9)   \begin{equation*} R(-\alpha)R(\alpha)=R(\alpha)R(-\alpha)=I \end{equation*}

すなわち

(10)   \begin{equation*} R(-\alpha)=R^{-1}(\alpha) \end{equation*}

が成り立つ．ただし，I は単位行列，R^{-1}(\alpha) は R(\alpha) の逆行列である．

上式(9)は，次のことを意味する．R(-\alpha)R(\alpha) は，左から作用させることで，ベクトルを角度 \alpha だけ回転させた後，さらに角度 -\alpha だけ回転させる（すなわち元の角度分だけ逆回転させる）．これは，双方を合わせてベクトルを角度 \alpha だけ回転させたのちに元に戻すこと，すなわち何もしないことに等しく，あるいは単位行列 I を作用させることに等しい．またこのことは，行列 R(-\alpha) が R(\alpha) の「逆の操作」であり，逆行列 R^{-1}(\alpha) に等しいことを意味し，式(10)として表せる．

(11)   \begin{equation*} \underset{R^{-1}}{\overset{R}{\rightleftharpoons}} \end{equation*}

上式(9)は，次の通りに確かめることができる．R(-\alpha)R(\alpha) について，

(12)   \begin{eqnarray*} && R(-\alpha)R(\alpha) \\ &=& \left( \begin{array}{cc} \cos (-\alpha) & - \sin (-\alpha)\\ \sin (-\alpha) & \cos (-\alpha) \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \cos \alpha & - \sin \alpha\\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array} \right)\\ &=& \left( \begin{array}{cc} \cos (-\alpha) \cos \alpha - \sin (-\alpha) \sin \alpha & - \sin (-\alpha) \cos \alpha - \cos (-\alpha) \sin \alpha\\ \sin (-\alpha) \cos \alpha + \cos (-\alpha) \sin \alpha & \cos (-\alpha) \cos \alpha - \sin (-\alpha) \sin \alpha \end{array} \right)\\ &=& \left( \begin{array}{cc} \cos 0 & - \sin 0 \\ \sin 0 & \cos 0 \end{array} \right)\\ &=& \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\\ &=& I \end{eqnarray*}

となる．また R(\alpha)R(-\alpha) についても同様にして，R(\alpha)R(-\alpha)=I を確かめることができる．

さらに，一般の正方行列 A に対して，AB = BA = I を満たすような正方行列 B は，A の逆行列といい，A^{-1} で表す．

R(-\alpha) は，R(\alpha) に対して，この逆行列の定義を満たしていることから，R(\alpha) の逆行列を R^{-1}(\alpha) と書くことにすれば，式(10) を得る．

３次元回転行列

３次元回転行列とは

３次元直交座標上のベクトル {\bf r} =(x,y,z) を，

x 軸； あるいは ベクトル {\bf e}_x = \left( 1,0,0 \right)
y 軸； あるいは ベクトル {\bf e}_y = \left( 0,1,0 \right)
z 軸； あるいは ベクトル {\bf e}_z = \left( 0,0,1 \right)

の周りで角度 \alpha だけ回転させる演算子 R_x(\alpha)，R_y(\alpha)，R_z(\alpha) は，それぞれ次の 3\times 3 行列で表すことができる：

３次元回転行列
x 軸周りでベクトルを右ねじの回転方向に回す回転行列：

(13)   \begin{equation*} R_x(\alpha) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & - \sin \alpha\\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha \end{array} \right) \end{equation*}

y 軸周りでベクトルを右ねじの回転方向に回す回転行列：

(14)   \begin{equation*} R_y(\alpha) = \left( \begin{array}{ccc} \cos \alpha & 0 & \sin \alpha\\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \alpha & 0 & \cos \alpha \end{array} \right) \end{equation*}

z 軸周りでベクトルを右ねじの回転方向に回す回転行列：

(15)   \begin{equation*} R_z(\alpha) = \left( \begin{array}{ccc} \cos \alpha & - \sin \alpha & 0\\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{equation*}

行列 R_x(\alpha)，R_y(\alpha)，R_z(\alpha) は，３次元ベクトルに左から作用させることにより，それぞれ x 軸，y 軸，z 軸の周りで，ベクトルを角度 \alpha だけ回転させる．

以下に R_z(\alpha) によるベクトルの回転

(16)   \begin{equation*} R_z(\alpha):{\mathbb R}^3 \to {\mathbb R}^3:{\bf r}_1 \mapsto {\bf r}_2 \end{equation*}

の模式図を示す．

回転行列がベクトルを回転させることの証明（３次元）

３次元直交座標上の任意の実ベクトル {\bf r}_1 = (x_1,y_1,z_1) は，円柱座標系 (r,\theta, \varphi) r \in [0, \infty)，\theta \in [0, 2\pi)，\varphi \in [0, \pi) を用いて

(17)   \begin{equation*} {\bf r}_1 = \left( \begin{array}{c} x_1\\ y_1 z_1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} r \cos \theta \sin \varphi \\ r \sin \theta \sin \varphi \\ r \cos \varphi \end{array} \right) \end{equation*}

と書ける（ただし r=|{\bf r}_1|=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2} ）．また，このベクトル {\bf r} を z 軸の周りで角度 \alpha だけ回転させたベクトル {\bf r}_2 = (x_2,y_2,z_2) は，

(18)   \begin{equation*} {\bf r}_2 = \left( \begin{array}{c} x_2\\ y_2 z_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} r \cos (\theta + \alpha) \sin \varphi \\ r \sin (\theta + \alpha) \sin \varphi \\ r \cos \varphi \end{array} \right) \end{equation*}

と書ける．

他方，ベクトル {\bf r}_1 に，式(15)で定義される，z 軸周りの回転行列 R_z(\alpha) を掛けると，ベクトルと行列の積，および三角関数の加法定理に注意して，

(19)   \begin{eqnarray*} R_z(\alpha)\;{\bf r}_1 &=& \left( \begin{array}{ccc} \cos \alpha & - \sin \alpha & 0\\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} r \cos \theta \sin \varphi \\ r \sin \theta \sin \varphi \\ r \cos \varphi \end{array} \right))\\ &=& \left( \begin{array}{c} r \sin \varphi ( \cos \theta \cos \alpha - \sin \theta \sin \alpha)\\ r \sin \varphi ( \sin \theta \cos \alpha + \cos \theta \sin \alpha)\\ r \cos \varphi \end{array} \right)\\ &=& \left( \begin{array}{c} r \cos (\theta + \alpha) \sin \varphi \\ r \sin (\theta + \alpha) \sin \varphi r \cos \varphi \end{array} \right)\\ &=& {\bf r}_2 \end{eqnarray*}

すなわち

(20)   \begin{equation*} {\bf r}_2 = R_z(\alpha)\;{\bf r}_1 \end{equation*}

となることがわかる．

結局，式(15)で定義される，z 軸周りの回転行列 R_z(\alpha) は，３次元直交座標上のベクトル {\bf r}_1 = (x_1,y_1,Z\1) を，z 軸の周りで角度 \alpha だけ回転させる作用の，行列表現であることが示された．

x 軸周りの回転行列 R_x(\alpha) および y 軸周りの回転行列 R_y(\alpha) についても，円柱座標系を適当に設定することにより，同様にベクトルの回転を確かめることができる．

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