回転行列の性質と実ベクトルを回転させる証明（２次元・３次元）

【この記事の概要】

回転行列 (rotation matrix) は，ユークリッド空間上のベクトルとの積を取ることにより，そのベクトルを回転させる演算子（作用素）として働きます．このことを，２次元回転行列および３次元回転行列に関して，三角関数の加法定理を用いて証明します．また，回転行列の転置行列，逆行列，行列式などの性質とその意味を説明します．

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２次元回転行列

２次元回転行列とは

２次元回転行列

２次元直交座標上の実ベクトル ${\bf r} = (x,y) \in {\mathbb R}^2$

を，原点の周りで角度 $\alpha$

だけ回転させる演算子(operator) $R(\alpha)$

は，次の $2\times 2$

行列で表すことができる：

(1) $\begin{equation*} R(\alpha) = \left( \begin{array}{cc} \cos \alpha & - \sin \alpha\\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array} \right) \end{equation*}$

行列 $R(\alpha)$ は，２次元ベクトルに左から作用させることにより，原点の周りでベクトルを角度 $\alpha$ だけ回転させる．

以下に $R(\alpha)$ によるベクトルの回転

(2) $\begin{equation*} R(\alpha):{\mathbb R}^2 \to {\mathbb R}^2:{\bf r} \mapsto {\bf r}' \end{equation*}$

の模式図を示す．

回転行列がベクトルを回転させることの証明（2次元）

２次元直交座標上の任意の実ベクトル ${\bf r} = (x,y)$ は，適当な $r \in [0, \infty)$ および $\theta \in [0, 2\pi)$ を用いて

(3) $\begin{equation*} {\bf r} = \left( \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} r \cos \theta\\ r \sin \theta \end{array} \right) \end{equation*}$

と書ける（ただし $r=|{\bf r}|=\sqrt{x^2+y^2}$ ）．また，このベクトル ${\bf r}$ を原点の周りに角度 $\alpha$ だけ回転させたベクトル ${\bf r}' = (x',y')$ は，

(4) $\begin{equation*} {\bf r}' = \left( \begin{array}{c} x'\\ y' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} r \cos (\theta + \alpha)\\ r \sin (\theta + \alpha) \end{array} \right) \end{equation*}$

と書ける．

他方，ベクトル ${\bf r}$ に，式(1)で定義される２次元回転行列 $R(\alpha)$ を掛けると，ベクトルと行列の積，および三角関数の加法定理に注意して，

(5) $\begin{eqnarray*} && R(\alpha)\;{\bf r} \\ &=& \left( \begin{array}{cc} \cos \alpha & - \sin \alpha\\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} r \cos \theta\\ r \sin \theta \end{array} \right)\\ &=& \left( \begin{array}{c} r \cos \theta \cos \alpha - r \sin \theta \sin \alpha\\ r \sin \theta \cos \alpha + r \cos \theta \sin \alpha \end{array} \right)\\ &=& \left( \begin{array}{c} r \cos (\theta + \alpha)\\ r \sin (\theta + \alpha) \end{array} \right)\\ &=& {\bf r}' \end{eqnarray*}$

すなわち

(6) $\begin{equation*} {\bf r}'= R(\alpha)\;{\bf r} \end{equation*}$

となることがわかる．

結局，式(1)で定義される回転行列 $R(\alpha)$ は，２次元直交座標上のベクトル ${\bf r} = (x,y)$ を原点の周りに角度 $\alpha$ だけ回転させる作用の，行列表現であることが示された．

２次元回転行列の積

２つの２次元回転行列 $R(\alpha)$

， $R(\beta)$

の積について，次式が成り立つ．

(7) $\begin{equation*} R(\alpha)R(\beta) = R(\alpha + \beta) \end{equation*}$

上式(7)は，次のことを意味する．２つの２次元回転行列の積 $R(\alpha)R(\beta)$ は，左から作用させることで，ベクトルを角度 $\beta$ だけ回転させた後，さらに角度 $\alpha$ だけ回転させる．これは，双方を合わせてベクトルを角度 $\alpha + \beta$ だけ回転させること，すなわち回転行列 $R(\alpha+\beta)$ を作用させることに等しい．

上式(7)は，次の通りに確かめることができる：

(8) $\begin{eqnarray*} && R(\alpha)R(\beta)\\ &=& \left( \begin{array}{cc} \cos \alpha & - \sin \alpha\\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \cos \beta & - \sin \beta\\ \sin \beta & \cos \beta \end{array} \right)\\ &=& \left( \begin{array}{cc} \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta & - \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \\ \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta & \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \end{array} \right)\\ &=& \left( \begin{array}{cc} \cos ( \alpha + \beta ) & - \sin ( \alpha + \beta ) \\ \sin ( \alpha + \beta ) & \cos ( \alpha + \beta ) \end{array} \right)\\ &=& R(\alpha + \beta) \end{eqnarray*}$

２次元回転行列の行列式

一般の $2\times 2$ 行列

(9) $\begin{equation*} A= \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \end{equation*}$

の行列式(determinant) $|A|$ （あるいは $\det A$ ）は

(10) $\begin{equation*} |A|=ad-bc \end{equation*}$

であるから，２次元回転行列(1)の行列式は

(11) $\begin{equation*} |R(\alpha)|=\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha =1 \end{equation*}$

となり，回転角 $\alpha$ の値に関わらず恒等的に 1 である．

このことは，２次元ベクトルに２次元回転行列を作用させてベクトルを回転させても，ベクトルの大きさは変わらないことを意味する．

２次元回転行列の逆行列と逆回転

２次元回転行列 $R(\alpha)$

について，次式が成り立つ．

(12) $\begin{equation*} R(-\alpha)R(\alpha)=R(\alpha)R(-\alpha)=I \end{equation*}$

すなわち

(13) $\begin{equation*} R(-\alpha)=R^{-1}(\alpha) \end{equation*}$

が成り立つ．ただし， $I$ は単位行列， $R^{-1}(\alpha)$ は $R(\alpha)$ の逆行列である．

式(1)より， $R(\alpha)$ の逆回転を表す行列 $R(-\alpha)$ は以下のように表せる：

(14) $\begin{eqnarray*} R(-\alpha) &=& \left( \begin{array}{cc} \cos (-\alpha) & - \sin (-\alpha)\\ \sin (-\alpha) & \cos (-\alpha) \end{array} \right)\\ &=& \left( \begin{array}{cc} \cos \alpha & \sin \alpha\\ - \sin \alpha & \cos \alpha \end{array} \right) \end{eqnarray*}$

式(12)は，次のことを意味する． $R(-\alpha)R(\alpha)$ は，左から作用させることで，ベクトルを角度 $\alpha$ だけ回転させた後，さらに角度 $-\alpha$ だけ回転させる（すなわち元の角度分だけ逆回転させる）．これは，双方を合わせてベクトルを角度 $\alpha$ だけ回転させたのちに元に戻すこと，すなわち何もしないことに等しく，あるいは単位行列 $I$ を作用させることに等しい．またこのことは，行列 $R(-\alpha)$ が $R(\alpha)$ の「逆の操作」であり，逆行列 $R^{-1}(\alpha)$ に等しいことを意味し，式(13)として表せる．

$\begin{equation*} {\bf r} \underset{R^{-1}}{\overset{R}{\rightleftharpoons}} {\bf r}' \end{equation*}$

また，式(12)は，次の通りに確かめることができる． $R(-\alpha)R(\alpha)$ について，

(15) $\begin{eqnarray*} && R(-\alpha)R(\alpha) \\ &=& \left( \begin{array}{cc} \cos (-\alpha) & - \sin (-\alpha)\\ \sin (-\alpha) & \cos (-\alpha) \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \cos \alpha & - \sin \alpha\\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array} \right)\\ &=& \left( \begin{array}{cc} \cos (-\alpha) \cos \alpha - \sin (-\alpha) \sin \alpha & - \sin (-\alpha) \cos \alpha - \cos (-\alpha) \sin \alpha\\ \sin (-\alpha) \cos \alpha + \cos (-\alpha) \sin \alpha & \cos (-\alpha) \cos \alpha - \sin (-\alpha) \sin \alpha \end{array} \right)\\ &=& \left( \begin{array}{cc} \cos 0 & - \sin 0 \\ \sin 0 & \cos 0 \end{array} \right)\\ &=& \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\\ &=& I \end{eqnarray*}$

となる． $R(\alpha)R(-\alpha)$ についても，式(15)と同様の計算により， $R(\alpha)R(-\alpha)=I$ を確かめることができる．

一般の正方行列 $A$ に対して， $AB = BA = I$ を満たすような正方行列 $B$ は， $A$ の逆行列といい， $A^{-1}$ で表す． $R(-\alpha)$ は， $R(\alpha)$ に対して，この逆行列の定義を満たしていることから， $R(\alpha)$ の逆行列を $R^{-1}(\alpha)$ と書くことにすれば，式(13) を得る．

あるいは，

(16) $\begin{equation*} A= \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \end{equation*}$

を一般の $2 \times 2$ 可逆行列（正則行列）とすると，その逆行列は

(17) $\begin{equation*} A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \left( \begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right) \end{equation*}$

となるので，２次元回転行列(12)にこれを用いることにより，

(18) $\begin{eqnarray*} R^{-1}(\alpha) &=& \frac{1}{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha} \left( \begin{array}{cc} \cos \alpha & \sin \alpha\\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{array} \right)\\ &=& \left( \begin{array}{cc} \cos \alpha & \sin \alpha\\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{array} \right)\\ &=& \left( \begin{array}{cc} \cos (-\alpha) & - \sin (-\alpha)\\ \sin (-\alpha) & \cos (-\alpha) \end{array} \right)\\ &=&R(-\alpha) \end{eqnarray*}$

のようにして，式(13) を導くこともできる．

２次元回転行列は直交行列である

直交行列とは，以下によって定義される行列である．

（定義）直交行列

$n \times n$

実正方行列(square matrix) $A$

について，その転置行列と逆行列が等しいとき，すなわち

(19) $\begin{equation*} ^t A = A^{-1} \end{equation*}$

が成り立つとき， $A$ を 直交行列(orthogonal matrix) という．

ただし， $^t A$ は $A$ の転置行列(the transpose of a matrix $A$ )， $A^{-1}$ は $A$ の逆行列(inverse matrix) である．

直交行列は，行列要素が実数である正方行列（実正方行列）に対して定義される．直交行列の概念を行列要素が複素数である場合に拡張したものはユニタリー行列(unitary matrix) という．実ユニタリー行列は直交行列である．

２次元回転行列が直交行列であることは，以下のように簡単に確かめることができる．

行列の行と列を互いに入れ替えたものが転置行列である．一般の２次元正方行列 $A$ に対して，その転置行列 $^t A$ は

(20) $\begin{equation*} A := \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \quad \Rightarrow \quad ^t A = \left( \begin{array}{cc} a & c \\ b & d \end{array} \right) \end{equation*}$

となる．

２次元回転行列(1)は

$\begin{equation*} R(\alpha) = \left( \begin{array}{cc} \cos \alpha & - \sin \alpha\\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array} \right) \end{equation*}$

であるから，その転置行列は

(21) $\begin{equation*} ^t R(\alpha) = \left( \begin{array}{cc} \cos \alpha & \sin \alpha\\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{array} \right) \end{equation*}$

となる．

これは， $R(\alpha)$ の逆行列 $R^{-1}(\alpha)$ に他ならない．

よって，２次元回転行列は直交行列である．

直交行列であるが２次元回転行列ではない行列

行列 $R$ が２次元回転行列ならば， $R$ は直交行列である．しかし逆は成り立たない．
すなわち，全ての $2\times 2$ 直交行列が２次元回転行列(12) として表せるわけではない．

直交行列だが２次元回転行列(12) でない行列として，次のような例を挙げることができる．

左からの作用により２次元ベクトルを $x$ 軸に関して鏡像反転させる行列：

(22) $\begin{equation*} \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right) \quad : \quad \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \mapsto \left( \begin{array}{c} x \\ -y \end{array} \right) \end{equation*}$

左からの作用により $x$ 座標と $y$ 座標を入れ替える行列（あるいは２次元ベクトルを直線 $y=x$ に関して鏡像反転させる行列）：

(23) $\begin{equation*} \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \quad : \quad \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \mapsto \left( \begin{array}{c} y \\ x \end{array} \right) \end{equation*}$

３次元回転行列

３次元回転行列とは

３次元直交座標上のベクトル ${\bf r} =(x,y,z)$ を，

$x$ 軸；あるいはベクトル ${\bf e}_x = \left( 1,0,0 \right)$
$y$ 軸；あるいはベクトル ${\bf e}_y = \left( 0,1,0 \right)$
$z$ 軸；あるいはベクトル ${\bf e}_z = \left( 0,0,1 \right)$

の周りで角度 $\alpha$ だけ回転させる演算子 $R_x(\alpha)$ ， $R_y(\alpha)$ ， $R_z(\alpha)$ は，それぞれ次の $3\times 3$ 行列で表すことができる：

３次元回転行列

$x$

軸周りでベクトルを右ねじの回転方向に回す回転行列：

(24) $\begin{equation*} R_x(\alpha) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & - \sin \alpha\\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha \end{array} \right) \end{equation*}$

$y$ 軸周りでベクトルを右ねじの回転方向に回す回転行列：

(25) $\begin{equation*} R_y(\alpha) = \left( \begin{array}{ccc} \cos \alpha & 0 & \sin \alpha\\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \alpha & 0 & \cos \alpha \end{array} \right) \end{equation*}$

$z$ 軸周りでベクトルを右ねじの回転方向に回す回転行列：

(26) $\begin{equation*} R_z(\alpha) = \left( \begin{array}{ccc} \cos \alpha & - \sin \alpha & 0\\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{equation*}$

行列 $R_x(\alpha)$ ， $R_y(\alpha)$ ， $R_z(\alpha)$ は，３次元ベクトルに左から作用させることにより，それぞれ $x$ 軸， $y$ 軸， $z$ 軸の周りで，ベクトルを角度 $\alpha$ だけ回転させる．

以下に $R_z(\alpha)$ によるベクトルの回転

(27) $\begin{equation*} R_z(\alpha):{\mathbb R}^3 \to {\mathbb R}^3:{\bf r}_1 \mapsto {\bf r}_2 \end{equation*}$

の模式図を示す．

回転行列がベクトルを回転させることの証明（３次元）

３次元直交座標上の任意の実ベクトル ${\bf r}_1 = (x_1,y_1,z_1)$ は，円柱座標系 $(r,\theta, \varphi)$ $r \in [0, \infty)$ ， $\theta \in [0, 2\pi)$ ， $\varphi \in [0, \pi)$ を用いて

(28) $\begin{equation*} {\bf r}_1 = \left( \begin{array}{c} x_1\\ y_1\\ z_1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} r \cos \theta \sin \varphi \\ r \sin \theta \sin \varphi \\ r \cos \varphi \end{array} \right) \end{equation*}$

と書ける（ただし $r=|{\bf r}_1|=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}$ ）．また，このベクトル ${\bf r}$ を $z$ 軸の周りで角度 $\alpha$ だけ回転させたベクトル ${\bf r}_2 = (x_2,y_2,z_2)$ は，

(29) $\begin{equation*} {\bf r}_2 = \left( \begin{array}{c} x_2\\ y_2\\ z_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} r \cos (\theta + \alpha) \sin \varphi \\ r \sin (\theta + \alpha) \sin \varphi \\ r \cos \varphi \end{array} \right) \end{equation*}$

と書ける．

他方，ベクトル ${\bf r}_1$ に，式(26)で定義される， $z$ 軸周りの回転行列 $R_z(\alpha)$ を掛けると，ベクトルと行列の積，および三角関数の加法定理に注意して，

(30) $\begin{eqnarray*} R_z(\alpha)\;{\bf r}_1 &=& \left( \begin{array}{ccc} \cos \alpha & - \sin \alpha & 0\\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} r \cos \theta \sin \varphi \\ r \sin \theta \sin \varphi \\ r \cos \varphi \end{array} \right)\\ &=& \left( \begin{array}{c} r \sin \varphi ( \cos \theta \cos \alpha - \sin \theta \sin \alpha)\\ r \sin \varphi ( \sin \theta \cos \alpha + \cos \theta \sin \alpha)\\ r \cos \varphi \end{array} \right)\\ &=& \left( \begin{array}{c} r \cos (\theta + \alpha) \sin \varphi \\ r \sin (\theta + \alpha) \sin \varphi \\ r \cos \varphi \end{array} \right)\\ &=& {\bf r}_2 \end{eqnarray*}$