回転行列の性質と実ベクトルを回転させる証明(2次元・3次元)

回転行列が,ユークリッド空間上のベクトルとの積を取ることによりそのベクトルを回転させる演算子(作用素)として働くことを,三角関数の加法定理を用いて証明します.また,回転行列の転置行列,逆行列,行列式などの性質とその意味を説明します.

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ベクトルの回転

2次元回転行列

2次元回転行列とは

2次元直交座標上の実ベクトル {\bf r} = (x,y) \in {\mathbb R}^2 を,原点の周りで角度 \alpha だけ回転させる演算子(operator) R(\alpha) は,次の 2\times 2 行列で表すことができる:

2次元回転行列

(1)   \begin{equation*} R(\alpha) = \left( \begin{array}{cc} \cos \alpha & - \sin \alpha\\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array} \right) \end{equation*}

回転行列がベクトルを回転させることの証明(2次元)

2次元直交座標上の任意の実ベクトル {\bf r} = (x,y) は,適当な r \in {\mathbb R} および \theta \in [0, 2\pi) を用いて

(2)   \begin{equation*} {\bf r} = \left( \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} r \cos \theta\\ r \sin \theta \end{array} \right) \end{equation*}

と書ける.また,このベクトル {\bf r} を原点の周りに角度 \alpha だけ回転させたベクトル {\bf r}' = (x',y') は,

(3)   \begin{equation*} {\bf r}' = \left( \begin{array}{c} x'\\ y' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} r \cos (\theta + \alpha)\\ r \sin (\theta + \alpha) \end{array} \right) \end{equation*}

と書ける.

他方,ベクトル {\bf r} に,式(1)で定義される2次元回転行列 R(\alpha) を掛けると,ベクトルと行列の積,および三角関数の加法定理に注意して,

(4)   \begin{eqnarray*} R(\alpha)\;{\bf r} &=& \left( \begin{array}{cc} \cos \alpha & - \sin \alpha\\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} r \cos \theta\\ r \sin \theta \end{array} \right)\\ &=& \left( \begin{array}{c} r \cos \theta \cos \alpha - r \sin \theta \sin \alpha\\ r \sin \theta \cos \alpha + r \cos \theta \sin \alpha \end{array} \right)\\ &=& \left( \begin{array}{c} r \cos (\theta + \alpha)\\ r \sin (\theta + \alpha) \end{array} \right)\\ &=& {\bf r}' \end{eqnarray*}

すなわち

(5)   \begin{equation*} {\bf r}'= R(\alpha)\;{\bf r} \end{equation*}

となることがわかる.

結局,式(1)で定義される回転行列 R(\alpha) は,2次元ユークリッド空間上のベクトル {\bf r} = (x,y) を原点の周りに角度 \alpha だけ回転させる作用の,行列表現であることが示された.

3次元回転行列

3次元直交座標上のベクトル {\bf r} =(x,y,z) を,

x 軸; あるいは ベクトル {\bf e}_x = \left( 1,0,0 \right)
y 軸; あるいは ベクトル {\bf e}_y = \left( 0,1,0 \right)
z 軸; あるいは ベクトル {\bf e}_z = \left( 0,0,1 \right)

の周りで角度 \alpha だけ回転させる演算子 R_x(\alpha)R_y(\alpha)R_z(\alpha) は,それぞれ次の 3\times 3 行列で表すことができる:

3次元回転行列

x 軸周りでベクトルを右ねじの回転方向に回す回転行列:

(6)   \begin{equation*} R_x(\alpha) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & - \sin \alpha\\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha \end{array} \right) \end{equation*}

y 軸周りでベクトルを右ねじの回転方向に回す回転行列:

(7)   \begin{equation*} R_y(\alpha) = \left( \begin{array}{ccc} \cos \alpha & 0 & \sin \alpha\\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \alpha & 0 & \cos \alpha \end{array} \right) \end{equation*}

z 軸周りでベクトルを右ねじの回転方向に回す回転行列:

(8)   \begin{equation*} R_z(\alpha) = \left( \begin{array}{ccc} \cos \alpha & - \sin \alpha & 0\\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0 & 0 & 1  \end{array} \right) \end{equation*}

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