ロンスキアン(ロンスキー行列式)を用いた,関数の線形従属・線形独立(1次従属・1次独立)の証明について説明します.
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ロンスキアン(ロンスキー行列式)の定義
2つの微分可能な関数に対して,ロンスキアンは次のように定義される.
(定義1)ロンスキアン(ロンスキー行列式):2関数の場合
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(1)
なる行列式で定義される 上の関数
を,ロンスキアン(Wronskian)あるいはロンスキー行列式(Wronski determinant)という.
より一般には,個の微分可能な関数に対して,ロンスキアンは次のように定義される.先の定義1は,次の定義2で
としたものとなる.
(定義2)ロンスキアン(ロンスキー行列式):n関数の場合
区間 ![Rendered by QuickLaTeX.com I](https://sp-ao.shortpixel.ai/client/to_auto,q_glossy,ret_img,w_9,h_12/https://k-san.link/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-18b5e45cb4a1ee02e81b9a980f828db8_l3.png)
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(2)
なる行列式で定義される 上の関数
を,ロンスキアン(Wronskian)あるいはロンスキー行列式(Wronski determinant)という.
ロンスキアン(ロンスキー行列式)と関数の線形独立・線形従属の関係
関数 の線形独立性・線形従属性と,それらのなすロンスキアン
には,次の関係がある.
(命題)関数の線形独立・線形従属とロンスキアンの関係
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![Rendered by QuickLaTeX.com I](https://sp-ao.shortpixel.ai/client/to_auto,q_glossy,ret_img,w_9,h_12/https://k-san.link/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-18b5e45cb4a1ee02e81b9a980f828db8_l3.png)
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- (命題1)
と
は線形従属 ⇒
- (命題2)
⇒
と
は線形独立
なお,これら2つの命題は,互いに対偶の関係にあり,同値であるから,証明はどちらかを示せば十分である.以下に命題1を示す.
(証明:命題1)f と g は線形従属 ⇒ W(f,g) = 0
と
は線形従属
sin(正弦)とcos(余弦)が線形独立であることの証明
2つの関数が線形独立であることを証明する例題として,前節の命題1を用いて次の命題を示す.
(命題)sin(正弦)とcos(余弦)の線形独立性
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![Rendered by QuickLaTeX.com \cos \omega x](https://sp-ao.shortpixel.ai/client/to_auto,q_glossy,ret_img,w_48,h_8/https://k-san.link/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0fd4f5b603a1db78464f278233997df1_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com ^{\forall}x\in \mathbb{R}](https://sp-ao.shortpixel.ai/client/to_auto,q_glossy,ret_img,w_53,h_16/https://k-san.link/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-685f75ac3c024e66bd4f5e4b44a8457e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \omega \not= 0](https://sp-ao.shortpixel.ai/client/to_auto,q_glossy,ret_img,w_44,h_17/https://k-san.link/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a66c1b232171f17b05f59c39daa1af23_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \sin \omega x](https://sp-ao.shortpixel.ai/client/to_auto,q_glossy,ret_img,w_46,h_12/https://k-san.link/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ed65280c6440c221941a93c01157c548_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \cos \omega x](https://sp-ao.shortpixel.ai/client/to_auto,q_glossy,ret_img,w_48,h_8/https://k-san.link/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0fd4f5b603a1db78464f278233997df1_l3.png)
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(3)
と計算できる.すなわち において
であるから,
と
は互いに線形独立である.
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