1階常微分方程式の定義と主な形式一覧

1階常微分方程式の主な形式を示します.

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常微分方程式の定義

(定義)1階常微分方程式
x は実数値または複素数値を取る変数,y は実数値または複素数値を取る x の関数,すなわち

(1)   \begin{eqnarray*} &&x \in D \subseteq \mathbb{R} \text{ or } \mathbb{C} \\ &&y:D \to \mathbb{R} \text{ or } \mathbb{C}  \end{eqnarray*}

とする.またyx について1階微分可能で

(2)   \begin{equation*} y':= \frac{dy(x)}{dx} \end{equation*}

とする.このとき,x,y,y' について,恒等的に成り立つ次の関係式

(3)   \begin{equation*} \Psi(x,y,y')=0 \end{equation*}

を,関数 y(x) に関する1階常微分方程式(first-order ordinary differential equations)という.

一般の常微分方程式の定義,偏微分方程式との違い,一般解と特解の定義などについては,下記の記事を参照のこと.

常微分方程式の定義【微分方程式】

2019年6月27日

正規型

変数分離形の1階常微分方程式

変数分離(separation of variables)形の1階常微分方程式とは,以下のような形式の微分方程式である.

(4)   \begin{equation*} \frac{dy(x)}{dx}+p(x)\cdot q(y) = 0 \end{equation*}

線形の1階常微分方程式

1階線形常微分方程式(first-order linear ordinary differential equation)とは,以下のような形式の微分方程式である.

(5)   \begin{equation*} \frac{dy(x)}{dx}+p(x)\cdot y(x) = r(x) \end{equation*}

特に,式(5)において,任意の x に対して r(x)=0 であるとき,これを斉次あるいは同次(homogeneous)といい,ある x に対して r(x)\not=0 であるとき,これを非斉次あるいは非同次(non-homogeneous)という.

完全微分方程式

完全微分方程式(exact differential equation)とは,以下のような形式の微分方程式である.

(6)   \begin{equation*} p(x,y)dx + q(x,y)dy =0  \end{equation*}

(7)   \begin{equation*} \quad \text{where} \quad \frac{\partial p(x,y)}{\partial y} = \frac{\partial q(x,y)}{\partial x} \end{equation*}

ベルヌーイ型の1階常微分方程式

リカッチ型の1階常微分方程式

クレロー型の1階常微分方程式

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