指数分布とは何か【確率論】

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指数分布とは何か

指数分布(exponential distribution)は,1つのパラメータ \lambda によって一意に定まる,連続確率分布(continuous probability distribution)の一種である.

定義:指数分布
連続確率変数Xの確率密度関数(probability density function; PDF)が

(1)   \begin{equation*} f_{X}(x) =  \left\{ \begin{array}{ll} \lambda e^{-\lambda x} & (x\ge 0)\\ 0 & (x<0) \end{array} \right \quad(\lambda >0) \end{equation*}

で与えられるとき,Xが従う確率分布を,パラメータ\lambdaの指数分布(exponential distribution)という.

確率変数Xが,パラメータ\lambdaの指数分布に従うことを

(2)   \begin{equation*} X\sim {\rm Exp}(\lambda) \end{equation*}

などと略記する.

指数分布の計算:期待値(平均),分散,標準偏差,累積分布関数の求め方【確率論】

2016年11月5日

指数分布の確率質量関数とそのグラフ

定義(1)に示した通り,指数分布{\rm Exp}(\lambda)の確率密度関数 f_{X} は,次式である.

    \begin{equation*} f_{X}(x) = \lambda e^{-\lambda x}\quad(x\ge 0\; ; \; \lambda >0) \end{equation*}

指数分布の確率密度関数(1)グラフの概形を以下に示す.

指数分布の累積分布関数とそのグラフ

一般に,連続確率変数 X の累積分布関数(cumulative distribution function; CDF) F_{X}(x) は,X の値が x 以下である確率\Pr(X\le x)を与える関数であり,確率密度関数 \f_{X} に対して

(3)   \begin{equation*} \Pr(X\le x) = F_{X}(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt \end{equation*}

の関係にある.

式(1)および式(3)より,指数分布{\rm Exp}(\lambda)の累積分布関数 F_{X} は次式のようになる.

(4)   \begin{equation*} F_{X}(x) =  \left\{ \begin{array}{ll} 1 - e^{-\lambda x} & (x\ge 0)\\ 0 & (x<0) \end{array} \right \quad(\lambda >0) \end{equation*}

指数分布の累積分布関数(4)のグラフの概形を以下に示す.

指数分布の累積分布関数を求めるための計算の詳細については,下記の関連ページを参照のこと.

指数分布の計算:期待値(平均),分散,標準偏差,累積分布関数の求め方【確率論】

2016年11月5日

指数分布の期待値と分散

指数確率変数Xの期待値(expected value)E[X],分散(variance)V[X],標準偏差(standard deviation)\sqrt{V[X]}は,それぞれ

(5)   \begin{equation*} E[X] = \frac{1}{\lambda} \end{equation*}

(6)   \begin{equation*} V[X] =  \frac{1}{\lambda^2} \end{equation*}

(7)   \begin{equation*} \sqrt{V[X]} =  \frac{1}{\lambda} \end{equation*}

となる.

期待値および分散を求めるための計算の詳細については,下記の関連ページを参照のこと.

指数分布の計算:期待値(平均),分散,標準偏差,累積分布関数の求め方【確率論】

2016年11月5日

指数分布の積率母関数(モーメント母関数)

指数分布 {\rm Exp}(\lambda) に従う確率変数Xの積率母関数(moment generating function)は,次式で表される関数 M_X である.

(8)   \begin{equation*} M_X(\xi) = \frac{1}{1-\xi / \lambda} \qquad(\xi \in {\mathbb R}) \end{equation*}

式(8)は,指数分布の確率密度関数(1)の逆ラプラス変換によって得られる.

特性関数・モーメント母関数(積率母関数)・キュムラント:定義と意味,期待値(平均)・分散との関係【確率論】

2018年8月29日

指数分布の特性関数

指数分布 {\rm Exp}(\lambda) に従う確率変数 X の特性関数(characteristic function)は,次式で表される関数 \Phi_X である.

(9)   \begin{equation*} \Phi_X(\xi) = \frac{1}{1-i\xi / \lambda} \qquad(\xi \in {\mathbb R}) \end{equation*}

ただし,iは虚数単位である.

式(9)は,指数分布の確率密度関数(1)のフーリエ逆変換によって得られる.

特性関数・モーメント母関数(積率母関数)・キュムラント:定義と意味,期待値(平均)・分散との関係【確率論】

2018年8月29日

指数分布のキュムラント母関数

指数分布 {\rm Pois}(\mu, \sigma2) に従う確率変数Xのキュムラント母関数(cumulant generating function)は,次式で表される関数 K_X である.

(10)   \begin{equation*} K_X(\xi) =\ln M_X(\xi) =-\ln \left\{ 1- \frac{\xi}{\lambda} \right\} \qquad(\xi \in {\mathbb R}) \end{equation*}

すなわち,式(10)は,指数分布の積率母関数(8)の対数を取ることよって得られる.

特性関数・モーメント母関数(積率母関数)・キュムラント:定義と意味,期待値(平均)・分散との関係【確率論】

2018年8月29日

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