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指数分布とは何か【確率論】

【この記事の概要】

指数分布の定義，確率密度関数や累積分布関数のグラフの概形，期待値や分散，モーメント母関数，特性関数，キュムラント母関数について説明します．

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指数分布の定義

指数分布(exponential distribution)は，１つのパラメータ $\lambda$ によって一意に定まる，連続確率分布(continuous probability distribution)の一種である．

定義：指数分布

連続確率変数 $X$

の確率密度関数(probability density function; PDF)が

(1) $\begin{equation*} f_{X}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \lambda e^{-\lambda x} & (x\ge 0)\\ 0 & (x<0) \end{array} \right \quad(\lambda >0) \end{equation*}$

で与えられるとき， $X$ が従う確率分布を，パラメータ $\lambda$ の指数分布(exponential distribution)という．

確率変数 $X$ が，パラメータ $\lambda$ の指数分布に従うことを

(2) $\begin{equation*} X\sim {\rm Exp}(\lambda) \end{equation*}$

などと略記する．

指数分布の計算：期待値(平均)，分散，標準偏差，累積分布関数の求め方【確率論】

2016年11月5日

指数分布の確率質量関数とそのグラフ

定義(1)に示した通り，指数分布 ${\rm Exp}(\lambda)$ の確率密度関数 $f_{X}$ は，次式である．

$\begin{equation*} f_{X}(x) = \lambda e^{-\lambda x}\quad(x\ge 0\; ; \; \lambda >0) \end{equation*}$

指数分布の確率密度関数(1)グラフの概形を以下に示す．

指数分布の累積分布関数とそのグラフ

一般に，連続確率変数 $X$ の累積分布関数(cumulative distribution function; CDF) $F_{X}(x)$ は， $X$ の値が $x$ 以下である確率 $\Pr(X\le x)$ を与える関数であり，確率密度関数 $\f_{X}$ に対して

(3) $\begin{equation*} \Pr(X\le x) = F_{X}(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt \end{equation*}$

の関係にある．

式(1)および式(3)より，指数分布 ${\rm Exp}(\lambda)$ の累積分布関数 $F_{X}$ は次式のようになる．

(4) $\begin{equation*} F_{X}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 - e^{-\lambda x} & (x\ge 0)\\ 0 & (x<0) \end{array} \right \quad(\lambda >0) \end{equation*}$

指数分布の累積分布関数(4)のグラフの概形を以下に示す．

指数分布の累積分布関数を求めるための計算の詳細については，下記の関連ページを参照のこと．

指数分布の計算：期待値(平均)，分散，標準偏差，累積分布関数の求め方【確率論】

2016年11月5日

指数分布の期待値と分散

指数確率変数 $X$ の期待値(expected value) $E[X]$ ，分散(variance) $V[X]$ ，標準偏差(standard deviation) $\sqrt{V[X]}$ は，それぞれ

(5) $\begin{equation*} E[X] = \frac{1}{\lambda} \end{equation*}$

(6) $\begin{equation*} V[X] = \frac{1}{\lambda^2} \end{equation*}$

(7) $\begin{equation*} \sqrt{V[X]} = \frac{1}{\lambda} \end{equation*}$

となる．

期待値および分散を求めるための計算の詳細については，下記の関連ページを参照のこと．

指数分布の計算：期待値(平均)，分散，標準偏差，累積分布関数の求め方【確率論】

2016年11月5日

指数分布の積率母関数（モーメント母関数）

指数分布 ${\rm Exp}(\lambda)$ に従う確率変数 $X$ の積率母関数(moment generating function)は，次式で表される関数 $M_X$ である．

(8) $\begin{equation*} M_X(\xi) = \frac{1}{1-\xi / \lambda} \qquad(\xi \in {\mathbb R}) \end{equation*}$

式(8)は，指数分布の確率密度関数(1)の逆ラプラス変換によって得られる．

特性関数・モーメント母関数(積率母関数)・キュムラント：定義と意味，期待値(平均)・分散との関係【確率論】

2018年8月29日

指数分布の特性関数

指数分布 ${\rm Exp}(\lambda)$ に従う確率変数 $X$ の特性関数(characteristic function)は，次式で表される関数 $\Phi_X$ である．

(9) $\begin{equation*} \Phi_X(\xi) = \frac{1}{1-i\xi / \lambda} \qquad(\xi \in {\mathbb R}) \end{equation*}$

ただし， $i$ は虚数単位である．

式(9)は，指数分布の確率密度関数(1)のフーリエ逆変換によって得られる．

特性関数・モーメント母関数(積率母関数)・キュムラント：定義と意味，期待値(平均)・分散との関係【確率論】

2018年8月29日

指数分布のキュムラント母関数

指数分布 ${\rm Pois}(\mu, \sigma2)$ に従う確率変数 $X$ のキュムラント母関数(cumulant generating function)は，次式で表される関数 $K_X$ である．

(10) $\begin{equation*} K_X(\xi) =\ln M_X(\xi) =-\ln \left\{ 1- \frac{\xi}{\lambda} \right\} \qquad(\xi \in {\mathbb R}) \end{equation*}$

すなわち，式(10)は，指数分布の積率母関数(8)の対数を取ることよって得られる．

特性関数・モーメント母関数(積率母関数)・キュムラント：定義と意味，期待値(平均)・分散との関係【確率論】

2018年8月29日

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