数学で用いる記号のまとめ

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【この記事の概要】

数学でよく出てくる記号について説明します.

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ギリシャ文字

数学では,変数,パラメータ,集合,要素,演算,写像などを表す記号として,しばしばギリシャ文字を用いる.ギリシャ文字の大文字,小文字,読み方を以下に示す.

A\alpha  :  alpha アルファ
B\beta  :  beta ベータ
\Gamma\gamma  :  gamma ガンマ
\Delta\delta  :  delta デルタ
E\epsilon, \varepsilon  :  epsilon イプシロン
Z\zeta  :  zeta ゼータ
H\eta  :  eta イータ
\Theta\theta  :  theta シータ
I\iota  :  iota イオタ
K\kappa  :  kappa カッパ
\Lambda\lambda  :  lambda ラムダ
M\mu  :  mu ミュー
N\nu  :  nu ニュー
\Xi\xi  :  xi クシー
Oo  :  omicron オミクロン
\Pi\pi  :  pi パイ
P\rho  :  rho ロー
\Sigma\sigma  :  sigma シグマ
T\tau  :  tau タウ
\Upsilon\upsilon  :  upsilon ユプシロン
\Phi\phi, \varphi  :  phi ファイ
X\chi  :  chi カイ
\Psi\psi  :  psi プシー,プサイ
\Omega\omega  :  omega オメガ

集合

集合と元

元(element) x が集合(set) X に属するとき,記号 \in を用いて

(1)   \begin{equation*} x \in X  \end{equation*}

と書き,「x は集合 X の元である(x is an element of X)」という.

部分集合

集合 A が集合 X の部分集合(subset) であるとき,記号 \subset を用いて

(2)   \begin{equation*} A \subset X  \end{equation*}

と書く.AX の関係(relation) を包含関係(inclusion) という.

特に A=X である場合も含むことを明示するときは,記号 \subseteq を用いて

(3)   \begin{equation*} A \subseteq X  \end{equation*}

と書く.

A \subset X かつ A\not=X である場合は,記号 \subsetneq を用いて

(4)   \begin{equation*} A \subsetneq X  \end{equation*}

と書き,AX の真部分集合(proper subset または strict subset) であるという.

空集合

元を含まない集合もひとつの集合であり,これを空集合(empty set) という.空集合は

(5)   \begin{equation*} \varnothing \quad , \quad \emptyset  \quad , \quad \phi \end{equation*}

などの記号で表す.

自然数,整数,有理数,実数,複素数の集合

自然数,整数,有理数,実数,複素数の集合は,大文字の白抜きボールド体(Blackboard bold;黒板ボールド)を用いて,以下の記号で表す.

{\mathbb N} : 自然数の集合 (the set of natural numbers)
{\mathbb Z} : 整数の集合 (the set of integers)
{\mathbb Q} : 有理数の集合 (the set of rational numbers)
{\mathbb R} : 実数の集合 (the set of real numbers)
{\mathbb C} : 複素数の集合 (the set of complex numbers)

存在量化子と全称量化子:「ある~」と「任意の~」を表す記号

与えられた条件を満たす数学的対象 x が存在するとき,記号 \exists を用いて,

^\exists x (あるいは \exists x

と書き,「ある x について~である」「~であるような x が存在する」などと読む.記号 \exists は存在量化子(existential quantifier)という.

また,与えられた条件を満たす数学的対象 x を任意に指示するとき,記号 \forall を用いて,

^\forall x (あるいは \forall x

と書き,「任意の x について~である」などと読む.記号 \forall は全称量化子(universal quantifier)という.

関数と写像

関数(写像)を表す矢印記号

集合 X,Y が与えられているとする.また,x\in Xy \in Y にうつすような,X 上の関数(function)(あるいは写像(map, mapping) )f が定義されたとする.すなわち,任意のx\in X に対してy=f(x) を満たすような y \in Y が存在する.このことを,存在量化子と全称量化子を用いて書けば

(6)   \begin{equation*} ^\forall x\in X, \; ^\exists y \in Y \;(\; y=f(x) \;)$  \end{equation*}

などとなる.

このような,関数(あるいは写像)と集合と元の関係は,矢印記号 \to および \mapsto を用いて,以下のように簡潔に表すことができる.

(7)   \begin{equation*} f:X\to Y :x\mapsto y \end{equation*}

矢印 \to は集合上の写像関係を表し,矢印 \mapsto はその写像による元の結びつきを表す.f:X \to Y

(8)   \begin{equation*} X \overset{f}{\longrightarrow} Y \end{equation*}

などと書くこともできる.

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