「和の期待値」＝「期待値の和」の計算：期待値の線形性の証明【確率論】
確率変数XとYの和と差の期待値(平均)について，E[ X ± Y ] = E[X] ± E[Y] が成り立ちます．さらに一般的には，等式E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]（a,bは任意定数）が成り立ち…
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標準正規分布の求め方，確率変数の標準化の計算方法と意味，正規化との違い【確率論・統計学】
「確率変数の標準化(standardizing)」について説明し，標準正規分布との関係を明らかにします．単純なz=(x-μ)/σなる置き換えでは標準正規分布は導出されないので，確率変数に対する適切な変数変換…
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ベルヌーイ分布の計算：期待値(平均)，分散，標準偏差の求め方【確率論】
ベルヌーイ分布の確率質量関数から，ベルヌーイ確率変数の期待値(平均) E[X]，分散 V[X]，標準偏差 √V[X] を計算する方法を示します．ベルヌーイ分布は1回のベルヌーイ試行が従う確率分布であり，試行…
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二項分布を正規分布で近似する計算と証明：中心極限定理の特殊な場合【確率論】
二項分布B(n,p)の確率変数Xについて，試行回数nが十分大きいとき，Xは近似的に正規分布 Norm(np, np(1-p)) に従うことを示します．二項分布の正規分布近似は，二項分布の確率質量関数の期待値…
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二項分布の計算：期待値(平均)，分散，標準偏差の求め方【確率論】
二項分布の確率質量関数から，二項確率変数の期待値(平均) E[X]，分散 V[X]，標準偏差 √V[X] を計算する方法を示します．一般に，離散確率変数の期待値は，確率質量関数とその引数の積の総和として定義…
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確率論と統計学の表記法と意味
確率論と統計学は深く関係していると同時に，全く異なる方法論でもあります．関係性の深さゆえに「確率・統計」と併記されることも少なくありませんが，確率論と統計学はそれぞれ別の体系であるという視点も重要です．例え…
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指数分布の和はアーラン分布となることを証明する/アーラン分布の導出【確率論】
指数分布に従う独立な確率変数の和はアーラン分布に従うこと，すなわちアーラン分布は指数分布の和の分布として導出されることを示します．指数分布およびアーラン分布は待ち行列理論において頻出します． 指数分布の和の分布はアーラン…
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正規分布の計算：期待値(平均)，分散，標準偏差の求め方【確率論】
正規分布（ガウス分布）の確率密度関数から，正規確率変数の期待値(平均) E[X]，分散 V[X]，標準偏差 √V[X] を計算する方法を示します．一般に，連続確率変数の期待値は，確率密度関数とその引数の積を…
確率論
正規分布の再生性の証明：和の分布と畳み込み【確率論】
正規分布の和の分布が再び正規分布となること，すなわち正規分布が再生性を持つことを証明します． 正規分布の再生性(reproductive property of the normal distribution) 2つの独…
微積分
ガウス積分の公式を証明/導出する【微積分】
ガウス積分の公式の導出方法を示します．ガウス積分は，正規分布(ガウス分布)の期待値や分散を計算する際に必要となります． ガウス積分 ガウス積分(Gaussian integral)とは，以下の積分計算のことである． (1…