誤差関数と正規分布の累積分布関数【確率論】

誤差関数(error function)を定義し,そのグラフを描きます.また正規分布のCDFを誤差関数で表すための計算を示します.相補誤差関数(complementary error function)についても説明します.

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誤差関数と相補誤差関数

誤差関数(error function)の定義

誤差関数(error function)とは,次式で定義される関数 {\rm erf}(x) である:

(1)   \begin{equation*} {\rm erf}(x) := \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x}  e^{-t^2}  \; dt \quad(-\infty < x < \infty) \end{equation*}

相補誤差関数(complementary error function)の定義

相補誤差関数(complementary error function) {\rm erfc}(x) は,誤差関数 {\rm erf}(x) を用いて,

(2)   \begin{eqnarray*} {\rm erfc}(x)  &:=& 1-{\rm erf}(x) \\ &=&\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{x}^{\infty}  e^{-t^2}  \; dt \quad(-\infty < x < \infty) \end{eqnarray*}

と定義される.

誤差関数と正規分布の累積分布関数の関係

誤差関数 {\rm erf}(x) あるいは相補誤差関数 {\rm erfc}(x) を用いると,正規分布{\rm Norm}(\mu, \sigma^2)の累積分布関数(CDF) F_X(x) は,

(3)   \begin{eqnarray*} F_X(x)  &=& \frac12 \left\{ 1+ {\rm erf} \left( \frac{x-\mu}{\sqrt{2}\sigma } \right) \right\} \\ &=& \frac12 {\rm erfc} \left( -\frac{x-\mu}{\sqrt{2}\sigma }  \right) \end{eqnarray*}

のように表すことができる.詳細は後節 誤差関数と正規分布の累積分布関数 に述べる.

誤差関数の意味

誤差関数は,主に正規分布の累積分布関数(CDF)を記述する際に用いられる特殊関数(special function)の一種である.一般にCDFは,確率密度関数(PDF)の定積分によって与えられるが,正規分布のPDFに対してはこの積分を解析的に実行することができない.言い換えると,正規分布のCDFは何らかの初等関数によって表すことができない.

そこで誤差関数(1)を導入する.正規分布のCDFと同様,式(1)の右辺は解析的に実行できないが,この積分値は分かっているものとみなして,これを誤差関数{\rm erf}(x)と名付けるのである.

正規分布のCDFは,本質的には式(1)の積分なので,誤差関数を用いて表すことができるが,これによってただちに正規分布のPDFが積分できたことになるわけではない.このことは,正規分布のCDFを{\rm erf}なる関数の記号によって略記したもの,とみる方が,混乱がないであろう.

誤差関数のグラフの概形

誤差関数(1)および相補誤差関数(2)のグラフの概形を以下に示す.

誤差関数の性質

正規分布の累積分布関数の積分範囲が(-\infty, x]であるのに対し,誤差関数(1)の積分範囲は[0,x]となっていることに注意せよ.

誤差関数は原点を通る関数である.x=0のとき,式(1)は

(4)   \begin{equation*} {\rm erf}(0) = 0 = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{0}  e^{-t^2}  \; dt \end{equation*}

となる.

誤差関数は奇関数である.実際,定義式(1)に従って

(5)   \begin{eqnarray*} {\rm erf}(-x)  &=& \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{-x}  e^{-t^2}  \; dt \\ &=& - \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{-x}^{0}  e^{-t^2}  \; dt \\ &=& - \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x}  e^{-t^2}  \; dt \\ &=& - {\rm erf}(x)  \end{eqnarray*}

となる.ただし,式(5)の3~4行目において{\rm erf}(x) の被積分関数e^{-t^2}が偶関数であることから

(6)   \begin{eqnarray*} && \int_{-x}^{0}  e^{-t^2}  \; dt \\ &&= \int_{-x}^{x}  e^{-t^2}  \; dt - \int_{0}^{x}  e^{-t^2}  \; dt \\ &&= 2\int_{0}^{x}  e^{-t^2}  \; dt - \int_{0}^{x}  e^{-t^2}  \; dt \\ &&= \int_{0}^{x}  e^{-t^2}  \; dt  \end{eqnarray*}

なる変形を行った.

誤差関数は有界であり,

(7)   \begin{equation*} \lim_{x\to \pm \infty}{\rm erf}(x) =\pm 1 \end{equation*}

となる.ただし複合同順.実際,x\to \inftyでは

(8)   \begin{eqnarray*} \lim_{x\to \infty}{\rm erf}(x)  &=& \lim_{x\to\infty} \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x}  e^{-t^2}  \; dt \\ &=&  \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{\infty}  e^{-t^2}  \; dt \\ &=&  \frac{2}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac12 \int_{-\infty}^{\infty}  e^{-t^2}  \; dt \\ &=&  \frac{2}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac12 \sqrt{\pi} \\ &=& 1 \end{eqnarray*}

であり,x\to -\inftyでは

(9)   \begin{eqnarray*} \lim_{x\to -\infty}{\rm erf}(x)  &=& \lim_{x\to -\infty} \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x}  e^{-t^2}  \; dt \\ &=&  \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{-\infty}  e^{-t^2}  \; dt \\ &=& - \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{0}  e^{-t^2}  \; dt \\ &=& - \frac{2}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac12 \int_{-\infty}^{\infty}  e^{-t^2}  \; dt \\ &=& - \frac{2}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac12 \sqrt{\pi} \\ &=& - 1 \end{eqnarray*}

である.ただし,ガウス積分の公式

(10)   \begin{equation*} \int_{-\infty}^{\infty}  e^{-t^2}  \; dt = \sqrt{\pi}  \end{equation*}

を用いた.

関連ページ:
ガウス積分の公式を証明/導出する:ヤコビアンと2重積分の極座標変換【微積分】

誤差関数と正規分布の累積分布関数 *

正規分布の累積分布関数

正規分布{\rm Norm}(\mu, \sigma^2)の累積分布関数

(11)   \begin{equation*}	 	  F_{X}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\infty}^{x} \exp{\left\{ -\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2} \right\}} \; dt	 	  \end{equation*}

あるいは標準正規分布{\rm Norm}(0, 1)の累積分布関数

(12)   \begin{equation*}	 	  F_{X}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x} \exp{\left\{ -\frac{t^2}{2} \right\}} \; dt	 	  \end{equation*}

について,この積分を解析的に実行しF_{X}(x)を初等関数によって表すことはできないことが知られている.誤差関数および相補誤差関数は,この表示に利用される.

関連ページ:
正規分布(ガウス分布)とは何か【確率論】# 正規分布の累積分布関数

誤差関数による正規分布の累積分布関数の表示

正規分布の累積分布関数を初等関数で表すことはできないが,誤差関数 {\rm erf}(x) あるいは相補誤差関数 {\rm erfc}(x) を用いて正規分布の累積分布関数を表すことがある.正規分布{\rm Norm}(\mu, \sigma^2)の累積分布関数 F_X(x) は,

    \begin{eqnarray*} F_X(x)  &=& \frac12 \left\{ 1+ {\rm erf} \left( \frac{x-\mu}{\sqrt{2}\sigma } \right) \right\} \\ &=& \frac12 {\rm erfc} \left( -\frac{x-\mu}{\sqrt{2}\sigma }  \right) \end{eqnarray*}

のように表すことができる(式(3)を再掲).

正規分布の累積分布関数(11)および誤差関数の定義式(1)を用いれば,

(13)   \begin{eqnarray*} F_X(x) &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\infty}^{x} \exp{\left\{ -\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2} \right\}} \; dt \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\infty}^{\frac{x-\mu}{\sqrt{2}\sigma}} \exp{\left\{ -z^2 \right\}} \cdot \sqrt{2}\sigma \; dz \\ &=& \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\frac{x-\mu}{\sqrt{2}\sigma}} e^{-z^2} \; dz\\ &=& \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{0} e^{-z^2} \; dz + \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{\frac{x-\mu}{\sqrt{2}\sigma}} e^{-z^2} \; dz\\ &=& \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot\frac12 \sqrt{\pi} + \frac12 \cdot \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{\frac{x-\mu}{\sqrt{2}\sigma}} e^{-z^2} \; dz\\ &=& \frac12 + \frac12 {\rm erf} \left( \frac{x-\mu}{\sqrt{2}\sigma } \right)  \\ &=& \frac12 \left\{ 1+ {\rm erf} \left( \frac{x-\mu}{\sqrt{2}\sigma } \right) \right\}  \end{eqnarray*}

となり,式(3)の上段を得る.ただし,1~2行目での変数変換

(14)   \begin{equation*} z:= \frac{t-\mu}{\sqrt{2}\sigma} \end{equation*}

および4行目第1項におけるガウス積分

(15)   \begin{equation*} \int_{-\infty}^{0} e^{-z^2} \; dz =\frac12 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-z^2} \; dz =\frac12 \sqrt{\pi} \end{equation*}

に注意せよ.また,式(13)の3行目から異なる変形をすると,

(16)   \begin{eqnarray*} F_X(x) &=& \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\frac{x-\mu}{\sqrt{2}\sigma}} e^{-z^2} \; dz\\ &=& - \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{\infty}^{-\frac{x-\mu}{\sqrt{2}\sigma}} e^{-z'^2} \; dz' \quad \left( z':= -z \right)\\ &=&  \frac12 \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{ -\frac{x-\mu}{\sqrt{2}\sigma} }^{ \infty } e^{-z'^2} \; dz'\\ &=& \frac12 {\rm erfc} \left( -\frac{x-\mu}{\sqrt{2}\sigma }  \right) \end{eqnarray*}

となり,式(3)の下段を得る.

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