指数関数のテイラー展開とマクローリン展開の計算・証明

指数関数 および の，テイラー展開とマクローリン展開の計算方法を示します．

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指数関数のテイラー展開とマクローリン展開

変数 ，パラメータ の指数関数(exponential function)
begin{equation}
f(x)=e^{ax}
label{eq001a}
end{equation}
および 変数 の指数関数
begin{equation}
f(x)=e^{x}
label{eq001b}
end{equation}
のマクローリン級数展開(Maclaurin series expansion)は，それぞれ以下の通りである．

また，指数関数(ref{eq001a})および(ref{eq001b}) の，点 の周りでのテイラー級数展開(Taylor series expansion)は，それぞれ以下の通りである．

なお，マクローリン展開とは，原点 におけるテイラー展開と同義である．すなわち，テイラー級数(ref{eq003a})および(ref{eq003b}) は， とすることにより，マクローリン級数(ref{eq002a})および(ref{eq002b}) に帰着する．

指数関数のテイラー展開の計算

指数関数のマクローリン展開(ref{eq002a})，(ref{eq002b})，および テイラー展開(ref{eq003a})，(ref{eq003b})を，テイラー級数の一般式から計算する．

一般に，関数 の，点 の周りでのテイラー級数展開は
begin{eqnarray}
f(x)
&=& f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + frac{f”(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + cdots + frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + cdots\
&=& sum_{k=0}^{infty}frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k
label{eq004}
end{eqnarray}
である．ただし，各項の係数は，関数 の点 における 階微分係数
begin{equation}
f^{(n)}(x_0)=left frac{d^n f(x)}{dx^n}right|_{x=x_0}
label{eq005}
end{equation}
である．

さて，指数関数 の 階微分係数（）は，
begin{eqnarray}
&& f(x_0)=e^{ax_0} \
&& f'(x_0)=ae^{ax_0} \
&& f”(x_0)=a^2 e^{ax_0} \
&& vdots \
&& f^{(n)}(x_0)=a^n e^{ax_0} \
&& vdots
label{eq006}
end{eqnarray}
であるから，これを式(ref{eq006})に代入すれば，指数関数(ref{eq001a})の でのテイラー展開(ref{eq003a})を得る．

また，式(ref{eq003a})において， とすれば，指数関数(ref{eq001b})の でのテイラー展開(ref{eq003b})を得る．

さらに，テイラー展開(ref{eq003a})および(ref{eq003b})において，原点周りでの展開（）とすれば，マクローリン展開(ref{eq002a})および(ref{eq002b})を得る．