指数関数 および
の,テイラー展開とマクローリン展開の計算方法を示します.
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指数関数のテイラー展開とマクローリン展開
変数 ,パラメータ
の指数関数(exponential function)
(1)
(2)
のマクローリン級数展開(Maclaurin series expansion)は,それぞれ以下の通りである.
また,指数関数(1)および(2) の,点 の周りでのテイラー級数展開(Taylor series expansion)は,それぞれ以下の通りである.
なお,マクローリン展開とは,原点 におけるテイラー展開と同義である.すなわち,テイラー級数(5)および(6) は,
とすることにより,マクローリン級数(3)および(4) に帰着する.
指数関数のテイラー展開の計算
指数関数のマクローリン展開(3),(4),および テイラー展開(5),(6)を,テイラー級数の一般式から計算する.
(7)
である.ただし,各項の係数は,関数 の点
における
階微分係数
(8)
である.
(9)
であるから,これを式(9)に代入すれば,指数関数(1)の でのテイラー展開(5)を得る.
また,式(5)において, とすれば,指数関数(2)の
でのテイラー展開(6)を得る.
さらに,テイラー展開(5)および(6)において,原点周りでの展開()とすれば,マクローリン展開(3)および(4)を得る.
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