指数関数のテイラー展開とマクローリン展開の計算・証明

指数関数 e^{ax} および e^x の,テイラー展開とマクローリン展開の計算方法を示します.

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指数関数のテイラー展開とマクローリン展開

変数 x in mathbb{R},パラメータ a の指数関数(exponential function)
begin{equation}
f(x)=e^{ax}
label{eq001a}
end{equation}
および 変数 x の指数関数
begin{equation}
f(x)=e^{x}
label{eq001b}
end{equation}
のマクローリン級数展開(Maclaurin series expansion)は,それぞれ以下の通りである.

指数関数のマクローリン展開
begin{eqnarray}
e^{ax}
&=& 1 + ax + frac{a^2}{2!}x^2 + cdots + frac{a^n}{n!}x^n + cdots\
&=& sum_{k=0}^{infty}frac{a^k}{k!}x^k
label{eq002a}
end{eqnarray}

特に,a=1 のとき
begin{eqnarray}
e^{x}
&=& 1 + x + frac{x^2}{2!} + cdots + frac{x^n}{n!} + cdots\
&=& sum_{k=0}^{infty}frac{x^k}{k!}
label{eq002b}
end{eqnarray}

また,指数関数(ref{eq001a})および(ref{eq001b}) の,点 x=x_0 の周りでのテイラー級数展開(Taylor series expansion)は,それぞれ以下の通りである.

指数関数のテイラー展開

begin{eqnarray}
e^{ax}
&=& e^{ax_0} + ae^{ax_0}(x-x_0) + frac{a^2 e^{ax_0}}{2!}(x-x_0)^2 + cdots + frac{a^n e^{ax_0}}{n!}(x-x_0)^n + cdots\
&=& sum_{k=0}^{infty}frac{a^k e^{ax_0}}{k!}(x-x_0)^k
label{eq003a}
end{eqnarray}

特に,a=1 のとき
begin{eqnarray}
e^{x}
&=& e^{x_0} + e^{x_0}(x-x_0) + frac{e^{x_0}}{2!}(x-x_0)^2 + cdots + frac{e^{x_0}}{n!}(x-x_0)^n + cdots\
&=& sum_{k=0}^{infty}frac{e^{x_0}}{k!}(x-x_0)^k
label{eq003b}
end{eqnarray}

なお,マクローリン展開とは,原点 x=0 におけるテイラー展開と同義である.すなわち,テイラー級数(ref{eq003a})および(ref{eq003b}) は,x_0=0 とすることにより,マクローリン級数(ref{eq002a})および(ref{eq002b}) に帰着する.

指数関数のテイラー展開の計算

指数関数のマクローリン展開(ref{eq002a}),(ref{eq002b}),および テイラー展開(ref{eq003a}),(ref{eq003b})を,テイラー級数の一般式から計算する.

一般に,関数 f(x) の,点 x=x_0 in mathbb{R} の周りでのテイラー級数展開は
begin{eqnarray}
f(x)
&=& f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + frac{f”(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + cdots + frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + cdots\
&=& sum_{k=0}^{infty}frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k
label{eq004}
end{eqnarray}
である.ただし,各項の係数は,関数 f の点 x=x_0 における n 階微分係数
begin{equation}
f^{(n)}(x_0)=left frac{d^n f(x)}{dx^n}right|_{x=x_0}
label{eq005}
end{equation}
である.

さて,指数関数 f(x)=e^{ax}k 階微分係数(k=0,1,2,...n,...)は,
begin{eqnarray}
&& f(x_0)=e^{ax_0} \
&& f'(x_0)=ae^{ax_0} \
&& f”(x_0)=a^2 e^{ax_0} \
&& vdots \
&& f^{(n)}(x_0)=a^n e^{ax_0} \
&& vdots
label{eq006}
end{eqnarray}
であるから,これを式(ref{eq006})に代入すれば,指数関数(ref{eq001a})の x=x_0 でのテイラー展開(ref{eq003a})を得る.

また,式(ref{eq003a})において,a=1 とすれば,指数関数(ref{eq001b})の x=x_0 でのテイラー展開(ref{eq003b})を得る.

さらに,テイラー展開(ref{eq003a})および(ref{eq003b})において,原点周りでの展開(x_0=0)とすれば,マクローリン展開(ref{eq002a})および(ref{eq002b})を得る.

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