ヤコビアンの定義と意味;2重積分の極座標変換(変数変換)の例題【微積分】

ヤコビアン(ヤコビ行列/行列式)の定義を示します.ヤコビアンは多変数関数の積分(多重積分)の変数変換で現れます.2次元直交座標系から極座標系への変換を例示します.微小面積素と外積(ウェッジ積)との関係を調べ,面積分でヤコビアンに絶対値がつく理由を述べます.

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ヤコビ行列の定義

n次元の変数(x_1,x_2,...,x_n)からm次元の変数(z_1,z_2,...,z_m)への変数変換が,関数(f_1,f_2,...,f_m)によって

(1)   \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ccc} z_1 &=& f_1(x_1,x_2,...,x_n) \\ z_2 &=& f_2(x_1,x_2,...,x_n) \\ \vdots &&\\ z_m &=& f_m(x_1,x_2,...,x_n)  \end{array} \right \end{equation*}

のように定義されたとする.このとき,

(2)   \begin{equation*} \frac{\partial f_i}{\partial x_j}\qquad(1\le i \le m, 1 \le j \le n) \end{equation*}

を要素とするm\times n行列

(3)   \begin{equation*} J:= \left( \begin{array}{cccc} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} &\frac{\partial f_1}{\partial x_2} &\cdots &\frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} &\frac{\partial f_2}{\partial x_2} &\cdots &\frac{\partial f_2}{\partial x_n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} &\frac{\partial f_m}{\partial x_2} &\cdots &\frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{array} \right) \end{equation*}

をヤコビ行列(Jacobian matrix)という.

なお,変数変換(1)において,z_i\;(i=1,...,m)(x_1,...,x_n)の従属変数であることが明らかであるときには,ヤコビ行列を

(4)   \begin{equation*} \frac{\partial z_i}{\partial x_j}\qquad(1\le i \le m, 1 \le j \le n) \end{equation*}

を要素とするm\times n行列

(5)   \begin{equation*} J= \left( \begin{array}{cccc} \frac{\partial z_1}{\partial x_1} &\frac{\partial z_1}{\partial x_2} &\cdots &\frac{\partial z_1}{\partial x_n}\\ \frac{\partial z_2}{\partial x_1} &\frac{\partial z_2}{\partial x_2} &\cdots &\frac{\partial z_2}{\partial x_n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ \frac{\partial z_m}{\partial x_1} &\frac{\partial z_m}{\partial x_2} &\cdots &\frac{\partial z_m}{\partial x_n} \end{array} \right) \end{equation*}

と書くこともある.

ヤコビアン(ヤコビ行列式)の定義

ヤコビ行列(3)(あるいは(7))において,それがm = nの正方行列であれば,行列式

(6)   \begin{equation*} |J|= \left| \begin{array}{cccc} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} &\frac{\partial f_1}{\partial x_2} &\cdots &\frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} &\frac{\partial f_2}{\partial x_2} &\cdots &\frac{\partial f_2}{\partial x_n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} &\frac{\partial f_m}{\partial x_2} &\cdots &\frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{array} \right| \end{equation*}

あるいは

(7)   \begin{equation*} |J|= \left| \begin{array}{cccc} \frac{\partial z_1}{\partial x_1} &\frac{\partial z_1}{\partial x_2} &\cdots &\frac{\partial z_1}{\partial x_n}\\ \frac{\partial z_2}{\partial x_1} &\frac{\partial z_2}{\partial x_2} &\cdots &\frac{\partial z_2}{\partial x_n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ \frac{\partial z_m}{\partial x_1} &\frac{\partial z_m}{\partial x_2} &\cdots &\frac{\partial z_m}{\partial x_n} \end{array} \right| \end{equation*}

が定義できる.これをヤコビアン(ヤコビ行列式 Jacobian determinant)という.

英語ではヤコビ行列およびヤコビ行列式をJacobian matrix および Jacobian determinant といい,どちらもJacobianと呼ばれ得る(文脈によって判断する).日本語では,単にヤコビアンというときには行列式を指すことが多く,本稿もこれに倣った.

ヤコビアンの意味と使い方:多重積分の変数変換

準備:1変数の積分の変数変換

ヤコビアンの意味を理解するための準備として,まず,1変数の積分の変数変換を考えることにする.

1変数関数H(z)を区間(z_a,z_b)で積分することを考える.すなわち

(8)   \begin{equation*} \int_{z_a}^{z_b} H(z) \; dz \end{equation*}

この積分を,新変数と旧変数の関係式

(9)   \begin{equation*} z=f(x) \end{equation*}

を満たす新しい変数xによる積分で書き換えよう.積分区間の対応を

(10)   \begin{equation*} \begin{array}{c|ccc} z  & z_a=f(x_a) &\to& z_b=f(x_b)\\ \hline x  & x_a& \to& x_b  \end{array} \end{equation*}

とする.変数変換(9)より,

(11)   \begin{equation*} H(z)=H\left(f(x)\right) \end{equation*}

であり,微小線素dzに対して

(12)   \begin{equation*} dz =  \frac{dz}{dx}  dx =   \frac{df(x)}{dx}  dx \\ \end{equation*}

に注意すると,積分変数zからxへの変換は

(13)   \begin{equation*} \int_{z_a}^{z_b} H(z) \; dz = \int_{x_a}^{x_b} H\left(f(x)\right) \cdot \frac{dz}{dx}  \; dx \\ \end{equation*}

となる.

以上の変数変換で,単にzxに置き換えた形(正しくない式^{\ast}

(14)   \begin{equation*} \text{incorrect equation*}\;(\times)\; : \qquad \int_{x_a}^{x_b} H\left(f(x)\right)  \; dx \\ \end{equation*}

ではなく,式(12)および式(13)において,変数変換(9)の微分

(15)   \begin{equation*} \frac{dz}{dx}  \; \left( \; = \frac{df(x)}{dx} \; \right) \\ \end{equation*}

が現れていることに注意せよ.変数変換は関数(9)に従って各局所におけるスケールを変化させるが,微分項(15)はそのスケールの「歪み」を元に戻して,積分の値を不変に保つ役割を果たす.

ヤコビアンの役割:多重積分の変数変換におけるスケール調整

多変数の積分(多重積分において),微分項(15)と同じ役割を果たすのが,ヤコビアンである.

簡単のため,2変数関数H(z_1,z_2)を領域S_zで積分することを考える.すなわち

(16)   \begin{equation*} \iint_{S_z} H(z_1,z_2) \; dz_1 dz_2 \end{equation*}

1変数の場合と同様に,この積分を,関係式

(17)   \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ccc} z_1 &=& f_1(x_1,x_2) \\ z_2 &=& f_2(x_1,x_2)  \end{array} \right \end{equation*}

を満たす新しい変数(x_1,x_2)による積分で書き換えよう.変数変換(17)より,

(18)   \begin{equation*} H(z_1,z_2)=H\left(f_1(x_1,x_2),f_2(x_1,x_2)\right) \end{equation*}

である.

また,式(17)の全微分は

(19)   \begin{eqnarray*} df_1(x_1,x_2) &=& \frac{\partial f_1(x_1,x_2)}{\partial x_1} dx_1+\frac{\partial f_1(x_1,x_2)}{\partial x_2} dx_2 \\ df_2(x_1,x_2) &=& \frac{\partial f_2(x_1,x_2)}{\partial x_1} dx_1+\frac{\partial f_2(x_1,x_2)}{\partial x_2} dx_2 \\ \end{eqnarray*}

あるいは

(20)   \begin{eqnarray*} dz_1 &=& \frac{\partial z_1}{\partial x_1} dx_1+\frac{\partial z_1}{\partial x_2} dx_2 \\ dz_2 &=& \frac{\partial z_2}{\partial x_1} dx_1+\frac{\partial z_2}{\partial x_2} dx_2 \\ \end{eqnarray*}

である(式(17)は与えられているとして,以降は式(20)による表記とする).

1変数の際に,微小線素dzからdxへの変換(12)

    \begin{equation*} dz = \frac{dz}{dx}dx  \end{equation*}

で,\frac{dz}{dx}が現れたことを思い出そう.結論を先に言えば,多変数の場合において,この\frac{dz}{dx}に当たるものがヤコビアンとなる.微小面積素dz_1dz_2からdx_1dx_2への変換は

(21)   \begin{equation*} dz_1dz_2 = ||J||\;dx_1dx_2 \end{equation*}

となり,ヤコビアン(Jacobian determinant) |J| の絶対値||J||が現れる.この式の詳細と,ヤコビアンに絶対値が付く理由については,次節で述べる.

変数変換後の積分領域をS_xとすると,式(8)は,式(10),式(14)などより,

(22)   \begin{equation*} \iint_{S_z} H(z_1,z_2) \; dz_1 dz_2 = \iint_{S_x} H\left(f_1(x_1,x_2),f_2(x_1,x_2)\right) \; ||J||\;dx_1dx_2 \end{equation*}

のように書き換えることができる.

ヤコビアンの導出:微小面積素と外積(ウェッジ積)との関係,およびヤコビアンに絶対値がつく理由

前節では,式(21)

    \begin{equation*} dz_1dz_2 = ||J||\;dx_1dx_2 \end{equation*}

を示しただけであった.本節では,この式の由来を検討しよう.

微小面積素(一般的には,任意の次元の微小領域という意味で,volume element(訳は微小体積,体積素片,体積要素など)と呼ばれる)dz_1dz_2は,微小線素dz_1dz_2が張る面を表す.

ところで,2辺が張る平行四辺形の記述には,ベクトルのクロス積(cross product)を用いたことを思い出そう.クロス積{\bf a} \times {\bf b}は,\bf a\bf bを隣り合う二辺とする平行四辺形に対応付けることができた.

このベクトルのクロス積 \times を一般化した ウェッジ積(wedge product; 楔積くさびせき ともいう) あるいは 外積(exterior product) が知られており,記号 \wedge を用いる.ウェッジ積によって生成される代数(algebra; 多元環)を 外積代数(exterior algebra) あるいは グラスマン代数(Grassmann algebra)という.(詳細は別稿とする).

\bf a\bf bのなす「向き付き平行四辺形」をクロス積{\bf a} \times {\bf b}に対応付けたのと同様,微小線素dz_1dz_2がなす微小面積素を,単にdz_1dz_2と表すのではなく,クロス積の一般化としてウエッジ積 \wedge を用いて

(23)   \begin{equation*} dz_1\wedge dz_2 \end{equation*}

と書くことにする.dz_1dz_2に基づく面積分では「向き」を考慮しない.それに対してウェッジ積では,ベクトルのクロス積と同様,

(24)   \begin{equation*} dz_1\wedge dz_2 = - dz_2\wedge dz_1 \end{equation*}

の形で,微小面積素に「向き」が符号(\pm)によってつけられる.

さて,全微分(20)について,\frac{\partial z_i}{\partial x_j}を係数,dz_1dz_2をベクトルのように見て,dz_1\wedge dz_2 をクロス積のように計算すると,以下のような過程を得る(ただし,クロス積同様,積の順序に注意する):

(25)   \begin{eqnarray*} &&dz_1\wedge dz_2 \\ &&= \left( \frac{\partial z_1}{\partial x_1} dx_1+\frac{\partial z_1}{\partial x_2} dx_2 \right) \wedge \left( \frac{\partial z_2}{\partial x_1} dx_1+\frac{\partial z_2}{\partial x_2} dx_2 \right) \\ &&= \left( A dx_1 + B dx_2 \right) \wedge \left( C dx_1 + D dx_2 \right) \\ &&=  A dx_1 \wedge C dx_1 + B dx_2 \wedge C dx_1 + A dx_1 \wedge D dx_2  +   B dx_2 \wedge D dx_2 \\ &&=  AC dx_1 \wedge  dx_1 + BC dx_2 \wedge  dx_1 + AD dx_1 \wedge dx_2  +  BD dx_2 \wedge  dx_2 \end{eqnarray*}

ただし,途中,各\frac{\partial z_i}{\partial x_j}A,B,C,Dで置き換えて計算した.さらに,クロス積と同様,任意の元\alphaに対して\alpha \wedge \alpha = 0であり,任意のi,j\in\{1,2\}に対して

(26)   \begin{equation*} dx_i\wedge dx_i = 0 \end{equation*}

(27)   \begin{equation*} dx_i\wedge dx_j = - dx_j\wedge dx_i \end{equation*}

が成り立つため,式(25)はさらに

(28)   \begin{eqnarray*} &&dz_1\wedge dz_2 \\ &&=AC dx_1 \wedge  dx_1 + BC dx_2 \wedge  dx_1 + AD dx_1 \wedge dx_2  +  BD dx_2 \wedge  dx_2\\ &&=  BC dx_2 \wedge  dx_1 + AD dx_1 \wedge dx_2 \\ &&=  - BC dx_1 \wedge  dx_2 + AD dx_1 \wedge dx_2 \\ &&=  (AD- BC)  dx_1 \wedge dx_2 \\ &&=  \left( \frac{\partial z_1}{\partial x_1}\frac{\partial z_2}{\partial x_2} - \frac{\partial z_1}{\partial x_2}\frac{\partial z_2}{\partial x_1} \right)  dx_1 \wedge dx_2 \\ &&=   \left|  \begin{array}{cc} \frac{\partial z_1}{\partial x_1} & \frac{\partial z_1}{\partial x_2} \\ \frac{\partial z_2}{\partial x_1} & \frac{\partial z_2}{\partial x_2} \end{array} \right| dx_1 \wedge dx_2  \end{eqnarray*}

となる.
上式最後に得られる行列式は,変数変換(17)に関するヤコビアン

(29)   \begin{equation*} |J|= \left|  \begin{array}{cc} \frac{\partial z_1}{\partial x_1} & \frac{\partial z_1}{\partial x_2} \\ \frac{\partial z_2}{\partial x_1} & \frac{\partial z_2}{\partial x_2} \end{array} \right| \end{equation*}

に他ならない.結局,

(30)   \begin{equation*} dz_1 \wedge dz_2 = |J|\;dx_1 \wedge dx_2 \end{equation*}

を得る.これはウェッジ積によって微小面積素が向きづけられた上での,変数変換に伴う微小体積素の変換を表す.ここでのヤコビアン|J|は,dx_1 \wedge dx_2に対するdz_1 \wedge dz_2の,「拡大(縮小)率」と,「向き(符号)反転の有無」の情報を持つことがわかる.

さて,式(30)ではウェッジ積による向き(符号)がある一方,面積分に用いる微小面積素dz_1dz_2は向き(符号)を持たないから,ヤコビアン|J|に絶対値をつけて||J||とし,「向き(符号)反転の有無」の情報を消して,「拡大(縮小)率」だけを与えるようにすれば,式(21)

    \begin{equation*} dz_1dz_2 = ||J||\;dx_1dx_2 \end{equation*}

のようになることがわかる.

ヤコビアンの例題:2重積分の極座標変換

ヤコビアンを用いた2重積分の変数変換の例として重要なものに,次式

(31)   \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ccc} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \end{array} \right \end{equation*}

で定義される,2次元直交座標系(x,y)から2次元極座標系(r,\theta)への変換(converting between polar and Cartesian coordinates)がある.

前々節で述べた手順に従って,(x,y)\in{\mathbb R}^2で定義される関数H(x,y)の,領域S_x\times S_y \subseteq {\mathbb R}^2での積分

(32)   \begin{equation*} \int_{S_x} \int_{S_y} H(x,y) \; dxdy \end{equation*}

を,極座標表示を用いた積分に変換しよう.変換後の積分領域は

(33)   \begin{equation*} S_r \times S_{\theta} \subseteq \left\{ (r,\theta)| r \in [0,\infty), \theta \in [0,2\pi) \right\} \end{equation*}

で表すことにする.

式(31)より,H(x,y)については

(34)   \begin{equation*} H(x,y) = H(r \cos \theta , r \sin \theta )  \end{equation*}

である.

微小体積dxdyについては,式(31)より計算されるヤコビアンの絶対値||J||を用いて,

(35)   \begin{eqnarray*} dxdy &=& \|J\| \; drd\theta\\ &=&  \left\|  \begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial r} \\ \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{array} \right\| drd\theta \\ &=&  \left\|  \begin{array}{cc} \cos \theta & \sin \theta \\ -r \sin \theta & r \cos \theta  \end{array} \right\| drd\theta \\ &=&  |r \cos^2 \theta + r \sin^2 \theta | drd\theta \\ &=&  |r|  drd\theta \\ &=&  r  drd\theta \quad(\because r \ge 0) \end{eqnarray*}

となる.これは,前節までに示してきた,微小面積素の変数変換
式(21)

    \begin{equation*} dz_1dz_2 = ||J||\;dx_1dx_2 \end{equation*}

の具体的な計算例に他ならない.

結局,2重積分の極座標変換

(36)   \begin{eqnarray*} && \int_{S_x} \int_{S_y} H(x,y) \; dxdy \\ &&= \int_{S_r} \int_{S_{\theta}} H(r \cos \theta , r \sin \theta )  \; \|J\| \; drd\theta\\ &&= \int_{S_r} \int_{S_{\theta}} H(r \cos \theta , r \sin \theta )  \; r \; drd\theta\\ \end{eqnarray*}

を得る.

この計算は,ガウス積分の公式を証明する際にも用いられる.

関連ページ:
ガウス積分の公式を証明/導出する:ヤコビアンと2重積分の極座標変換【微積分】

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