ポアソン分布の計算:期待値(平均),分散,標準偏差の求め方【確率論】

ポアソン分布の確率質量関数から,ポアソン確率変数の期待値(平均) E[X],分散 V[X],標準偏差 √V[X] を計算する方法を示します.一般に,離散確率変数の期待値は,確率質量関数とその引数の積の総和として定義されます.

また,統計学における標本平均・標本分散・標本標準偏差の定義式も示します.こちらは「確率論における期待値・分散・標準偏差」とは関連しつつも区別される概念であり,定義式も異なります.

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ポアソン分布の期待値・分散・標準偏差

ポアソン分布(Poisson distribution)の確率質量関数(probability mass function; PMF)

(1)   \begin{equation*} P_k:= \Pr(X=k) = \frac{\lambda^k \; e^{-\lambda} }{k!} \quad (k=0, 1, 2,...) \end{equation*}

が与えられたとき,その期待値(expected value)E[X],分散(variance)V[X],標準偏差(standard deviation)\sqrt{V[X]}は,それぞれ

(2)   \begin{equation*} E[X] = \lambda \end{equation*}

(3)   \begin{equation*} V[X] = \lambda \end{equation*}

(4)   \begin{equation*} \sqrt{V[X]} = \sqrt{\lambda} \end{equation*}

となる.□

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ポアソン分布の期待値の計算・求め方

ポアソン分布の期待値は次の計算で求めることができる.

(5)   \begin{eqnarray*} E[X] &=& \sum_{k=0}^{\infty} k \; P_k \\ &=& \sum_{k=0}^{\infty} k \frac{\lambda^k \; e^{-\lambda} }{k!} \\ &=& \sum_{k=1}^{\infty} k \frac{\lambda^k \; e^{-\lambda} }{k!} \\ &=& \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^k \; e^{-\lambda} }{(k-1)!} \\ &=& \lambda \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^(k-1) \; e^{-\lambda} }{(k-1)!} \\ &=& \lambda \sum_{k'=0}^{\infty} \frac{\lambda^{k'} \; e^{-\lambda} }{k'!} \quad (k':=k-1)\\ &=& \lambda \cdot 1 \\ &=& \lambda \end{eqnarray*}

ポアソン分布の分散と標準偏差の計算・求め方

一般に,分散は

(6)   \begin{eqnarray*} V[X]  &:=&  E\left( (X - E[X])^2 \right) \\ &=&  E\left( X^2 - 2XE[X] + E[X]^2 \right) \\ &=&  E[X^2] - E\left( 2XE[X] \right) + E\left( E[X]^2 \right) \\ &=&  E[X^2] - 2E[X]E[X] + E[X]^2 \\ &=&  E[X^2] - E[X]^2 \end{eqnarray*}

だから,E[X^2]E[X]^2を計算すればよい.E[X^2]は,

(7)   \begin{eqnarray*} E[X^2] &=& \sum_{k=0}^{\infty} k^2 \; P_k \\ &=& \sum_{k=0}^{\infty} k^2 \frac{\lambda^k \; e^{-\lambda} }{k!} \\ &=& \sum_{k=1}^{\infty} k^2 \frac{\lambda^k \; e^{-\lambda} }{k!} \\ &=& \sum_{k=1}^{\infty} k \frac{\lambda^k \; e^{-\lambda} }{(k-1)!} \\ &=& \sum_{k=1}^{\infty} \lambda k \frac{\lambda^(k-1) \; e^{-\lambda} }{(k-1)!} \\ &=& \sum_{k=1}^{\infty} \lambda (k-1) \frac{\lambda^(k-1) \; e^{-\lambda} }{(k-1)!}  + \sum_{k=1}^{\infty} \lambda \cdot 1 \cdot \frac{\lambda^(k-1) \; e^{-\lambda} }{(k-1)!} \\ &=& \sum_{k=1}^{\infty} \lambda (k-1) \frac{\lambda^(k-1) \; e^{-\lambda} }{(k-1)!}  + \sum_{k=2}^{\infty} \lambda \cdot 1 \cdot \frac{\lambda^(k-1) \; e^{-\lambda} }{(k-1)!} \\ &=& \sum_{k=2}^{\infty} \lambda^2 \frac{\lambda^(k-2) \; e^{-\lambda} }{(k-2)!}  + \sum_{k=1}^{\infty} \lambda \frac{\lambda^(k-1) \; e^{-\lambda} }{(k-1)!} \\ &=&  \lambda^2 \sum_{k''=0}^{\infty} {k''}^2 \frac{\lambda^{k''} \; e^{-\lambda} }{{k''}!}  + \lambda \sum_{k'=0}^{\infty} {k'}^2 \frac{\lambda^{k'} \; e^{-\lambda} }{{k'}!} \quad(k'':=k-2, k':= k-1)\\ &=& \lambda^2 + \lambda \end{eqnarray*}

である.また(5)式より

(8)   \begin{equation*} E[X]^2 = \lambda^2 \end{equation*}

である.これらを(6)式に代入すれば,ポアソン分布の分散

(9)   \begin{eqnarray*} V[X] &=& E[X^2] - E[X]^2 \\ &=& \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 \\ &=& \lambda \end{eqnarray*}

を得る.

また,標準偏差は分散の正平方根なので

(10)   \begin{equation*} \sqrt{V[X]} = \sqrt{\lambda} \end{equation*}

となる.

標本平均,標本分散,標本標準偏差【統計学】

「統計学における標本平均・標本分散・標本標準偏差」は,「確率論における期待値・分散・標準偏差」と関連しつつも区別される概念であり,定義式も異なる.

標本平均,標本分散,標本標準偏差の定義式は,母集団が従う分布に依存しない.

統計学において,ある母集団から採られた 標本(sample) として

(11)   \begin{equation*} x_1,x_2,...,x_i,....,x_n \end{equation*}

がなる n 個のデータが与えられたとき,そのデータの 標本平均(sample mean) \bar x,標本分散(sample variance) s^2,標本標準偏差(sample standard deviation) s は,それぞれ

(12)   \begin{equation*} \bar x := \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \end{equation*}

(13)   \begin{equation*} s^2 := \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( x_i - \bar x \right)^2 \end{equation*}

(14)   \begin{equation*} s := \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( x_i - \bar x \right)^2} \end{equation*}

で定義される.

なお,これら標本平均・標本分散はそれぞれ,母集団の母平均・母分散の推定値(estimate)となる.

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