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ポアソン分布の計算：期待値(平均)，分散，標準偏差の求め方【確率論】

ポアソン分布の確率質量関数から，ポアソン確率変数の期待値(平均) E[X]，分散 V[X]，標準偏差 √V[X] を計算する方法を示します．一般に，離散確率変数の期待値は，確率質量関数とその引数の積の総和として定義されます．

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ポアソン分布の期待値・分散・標準偏差

ポアソン分布(Poisson distribution)の確率質量関数(probability mass function; PMF)

(1)   \begin{equation*} P_k:= \Pr(X=k) = \frac{\lambda^k \; e^{-\lambda} }{k!} \quad (k=0, 1, 2,...) \end{equation*}

が与えられたとき，その期待値(expected value)E[X]，分散(variance)V[X]，標準偏差(standard deviation)\sqrt{V[X]}は，それぞれ

(2)   \begin{equation*} E[X] = \lambda \end{equation*}

(3)   \begin{equation*} V[X] = \lambda \end{equation*}

(4)   \begin{equation*} \sqrt{V[X]} = \sqrt{\lambda} \end{equation*}

となる．□

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ポアソン分布の期待値の計算・求め方

ポアソン分布の期待値は次の計算で求めることができる．

(5)   \begin{eqnarray*} E[X] &=& \sum_{k=0}^{\infty} k \; P_k \\ &=& \sum_{k=0}^{\infty} k \frac{\lambda^k \; e^{-\lambda} }{k!} \\ &=& \sum_{k=1}^{\infty} k \frac{\lambda^k \; e^{-\lambda} }{k!} \\ &=& \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^k \; e^{-\lambda} }{(k-1)!} \\ &=& \lambda \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^(k-1) \; e^{-\lambda} }{(k-1)!} \\ &=& \lambda \sum_{k'=0}^{\infty} \frac{\lambda^{k'} \; e^{-\lambda} }{k'!} \quad (k':=k-1)\\ &=& \lambda \cdot 1 \\ &=& \lambda \end{eqnarray*}

ポアソン分布の分散と標準偏差の計算・求め方

一般に，分散は

(6)   \begin{eqnarray*} V[X] &:=& E\left( (X - E[X])^2 \right) \\ &=& E\left( X^2 - 2XE[X] + E[X]^2 \right) \\ &=& E[X^2] - E\left( 2XE[X] \right) + E\left( E[X]^2 \right) \\ &=& E[X^2] - 2E[X]E[X] + E[X]^2 \\ &=& E[X^2] - E[X]^2 \end{eqnarray*}

だから，E[X^2]とE[X]^2を計算すればよい．E[X^2]は，

(7)   \begin{eqnarray*} E[X^2] &=& \sum_{k=0}^{\infty} k^2 \; P_k \\ &=& \sum_{k=0}^{\infty} k^2 \frac{\lambda^k \; e^{-\lambda} }{k!} \\ &=& \sum_{k=1}^{\infty} k^2 \frac{\lambda^k \; e^{-\lambda} }{k!} \\ &=& \sum_{k=1}^{\infty} k \frac{\lambda^k \; e^{-\lambda} }{(k-1)!} \\ &=& \sum_{k=1}^{\infty} \lambda k \frac{\lambda^(k-1) \; e^{-\lambda} }{(k-1)!} \\ &=& \sum_{k=1}^{\infty} \lambda (k-1) \frac{\lambda^(k-1) \; e^{-\lambda} }{(k-1)!} + \sum_{k=1}^{\infty} \lambda \cdot 1 \cdot \frac{\lambda^(k-1) \; e^{-\lambda} }{(k-1)!} \\ &=& \sum_{k=1}^{\infty} \lambda (k-1) \frac{\lambda^(k-1) \; e^{-\lambda} }{(k-1)!} + \sum_{k=2}^{\infty} \lambda \cdot 1 \cdot \frac{\lambda^(k-1) \; e^{-\lambda} }{(k-1)!} \\ &=& \sum_{k=2}^{\infty} \lambda^2 \frac{\lambda^(k-2) \; e^{-\lambda} }{(k-2)!} + \sum_{k=1}^{\infty} \lambda \frac{\lambda^(k-1) \; e^{-\lambda} }{(k-1)!} \\ &=& \lambda^2 \sum_{k''=0}^{\infty} {k''}^2 \frac{\lambda^{k''} \; e^{-\lambda} }{{k''}!} + \lambda \sum_{k'=0}^{\infty} {k'}^2 \frac{\lambda^{k'} \; e^{-\lambda} }{{k'}!} \quad(k'':=k-2, k':= k-1)\\ &=& \lambda^2 + \lambda \end{eqnarray*}

である．また(5)式より

(8)   \begin{equation*} E[X]^2 = \lambda^2 \end{equation*}

である．これらを(6)式に代入すれば，ポアソン分布の分散

(9)   \begin{eqnarray*} V[X] &=& E[X^2] - E[X]^2 \\ &=& \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 \\ &=& \lambda \end{eqnarray*}

を得る．

また，標準偏差は分散の正平方根なので

(10)   \begin{equation*} \sqrt{V[X]} = \sqrt{\lambda} \end{equation*}

となる．

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