正規分布の計算：期待値(平均)，分散，標準偏差の求め方【確率論】

【この記事の概要】

正規分布の確率密度関数から，正規確率変数の期待値(平均)・分散・標準偏差を計算する方法を示します．計算の過程ではガウス積分の公式を用います．一般に，連続確率変数の期待値は，確率密度関数とその引数の積を積分することにより得られます．これらは確率論における計算です．

また，統計学における標本平均・標本分散・標本標準偏差の定義式も示します．こちらは「確率論における期待値・分散・標準偏差」とは関連しつつも区別される概念であり，定義式も異なります．

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正規分布の期待値（平均），分散，標準偏差【確率論】

正規分布(normal distribution)の確率密度関数(probability density function; PDF)

(1) $\begin{equation*} f_{X}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp{\left\{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right\}} \end{equation*}$

が与えられたとき，その確率変数 $X$ の期待値(expected value) $E[X]$ ，分散(variance) $V[X]$ ，標準偏差(standard deviation) $\sqrt{V[X]}$ は，それぞれ

(2) $\begin{equation*} E[X] = \mu \end{equation*}$

(3) $\begin{equation*} V[X] = \sigma^2 \end{equation*}$

(4) $\begin{equation*} \sqrt{V[X]} = \sigma \end{equation*}$

となる．

分散と標準偏差については，分散が先に定義され，標準偏差は分散の正平方根として定義される．

ガウス積分の公式：正規分布の計算に必要な積分

以下の積分

(5) $\begin{equation*} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-Bz^2 } dz = \sqrt{\frac{\pi}{B}} \end{equation*}$

は，ガウス積分と呼ばれる（ガウス積分の計算方法はこちら）．

正規分布の期待値と分散を計算する際， $e^{-\frac{z^2}{2} }$ ， $ze^{-\frac{z^2}{2} }$ ，および $z^2e^{-\frac{z^2}{2} }$ の積分結果を用いるので，まずこれらを計算しておこう．

$e^{-\frac{z^2}{2} }$ の積分は，ガウス積分(5)で $B=1/2$ としたものである．

(6) $\begin{equation*} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{z^2}{2} } dz = \sqrt{2\pi}} \end{equation*}$

$ze^{-\frac{z^2}{2} }$ の積分は，容易に行える．

(7) $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} z e^{-\frac{z^2}{2} } dz &=& \left[ -e^{-\frac{z^2}{2} } \right]_{-\infty}^{\infty} \\ &=& 0 \end{eqnarray*}$

$z^2e^{-\frac{z^2}{2} }$ の積分は，

(8) $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} z^2 e^{-\frac{z^2}{2} } dz &=& \int_{-\infty}^{\infty} z\cdot \left(z e^{-\frac{z^2}{2} } \right) dz \\ &=& \left[ z\cdot \left(- e^{-\frac{z^2}{2} } \right) \right]_{-\infty}^{\infty} + \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{z^2}{2} } dz \\ &=& 0+\sqrt{2\pi} \\ &=& \sqrt{2\pi} \end{eqnarray*}$

のように，1行目右辺から2行目への計算で部分積分を行い，3行目第2項でガウス積分を行う．

正規分布の期待値の計算・求め方

(9) $\begin{eqnarray*} E[X]&=& \int_A xf_X(x)dx \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp{\left\{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right\}}dx \end{eqnarray*}$

ここで，標準化(standardization)と呼ばれる変数変換

(10) $\begin{equation*} z:=\frac{x-\mu}{\sigma} \end{equation*}$

を行うと， $x=\sigma z + \mu$ ， $dx=\sigma dz$ なので，

(11) $\begin{eqnarray*} E[X] &=& \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp{\left\{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right\}}dx \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty} (\sigma z + \mu) \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{z^2}{2} }\;\sigma dz \\ &=& \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} z e^{-\frac{z^2}{2} } dz + \frac{\mu}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{z^2}{2} } dz \\ &=& \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}} \cdot 0 + \frac{\mu}{\sqrt{2\pi}} \cdot \sqrt{2\pi} \\ &=& \mu \end{eqnarray*}$

となる．

正規分布の分散と標準偏差の計算・求め方

一般に

(12) $\begin{eqnarray*} V[X]&=& E\left( (X - E[X])^2 \right) \\ &=&E[X^2] - E[X]^2 \end{eqnarray*}$

なので，まず $E[X^2]$ を求める．

(13) $\begin{eqnarray*} E[X^2]&=& \int_A x^2\;f_X(x)dx \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp{\left\{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right\}}dx \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty} (\sigma z + \mu)^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{z^2}{2} }\;\sigma dz \quad \quad \left( \; z:=\frac{x-\mu}{\sigma} \; \right)\\ &=& \int_{-\infty}^{\infty} (\sigma^2 z^2 + 2\mu\sigma z +\mu^2) \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{z^2}{2} }\;\sigma dz \\ &=& \frac{\sigma^2}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} z^2 e^{-\frac{z^2}{2} } dz +\frac{2\mu\sigma}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} z e^{-\frac{z^2}{2} } dz + \frac{\mu^2}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{z^2}{2} } dz \\ &=& \frac{\sigma^2}{\sqrt{2\pi}} \cdot \sqrt{2\pi} +\frac{2\mu\sigma}{\sqrt{2\pi}} \cdot 0 + \frac{\mu^2}{\sqrt{2\pi}} \cdot \sqrt{2\pi} \\ &=& \sigma^2+\mu^2 \end{eqnarray*}$