正規分布の特性関数の導出・計算・求め方【確率論】

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正規分布の特性関数とは

正規分布の特性関数

正規分布(normal distribution) ${\rm Norm}(\mu, \sigma2)$

の特性関数(characteristic function)とは，次式で表される関数 $\Phi_{\rm norm}$

である．

(1) $\begin{equation*} \Phi_{\rm norm}(\xi) = \exp \left\{ i\xi \mu - \frac{\xi^2\sigma^2}{2} \right\} \end{equation*}$

ただし， $i$ は虚数単位である．

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正規分布の特性関数を確率密度関数から計算・導出する

正規分布の特性関数を，定義に従って確率密度関数から導出しよう．

確率変数 $X$ に対する特性関数の一般的定義は

(2) $\begin{equation*} \Phi_X(\xi) := E\left[e^{i\xi X}\right] \end{equation*}$

である．また，正規分布の確率密度関数は

(3) $\begin{equation*} f_{X}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp{\left\{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right\}} \quad \left(\;^{\forall} x\in (-\infty, \infty) \right) \end{equation*}$

である．式(2)，式(3)より，正規分布の特性関数は

(4) $\begin{eqnarray*} &&\Phi_X(\xi) \\ &&= E\left[e^{i\xi X}\right] \\ &&= \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) \; e^{i\xi x} \; dx \\ &&= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp{\left\{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right\}} \cdot \exp\left\{i\xi x \right\} \; dx \\ &&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\infty}^{\infty} \exp{\left\{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} + i\xi x \right\}} \; dx \\ \end{eqnarray*}$

を計算することにより得られる．

式(4)の被積分関数

(5) $\begin{equation*} \exp{\left\{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} + i\xi x \right\}} \end{equation*}$

の指数部を展開して，平方完成しなおすことにより，式(4)をガウス積分の形に持っていけばよい．すなわち，

(6) $\begin{eqnarray*} &&-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} + i\xi x\\ && = -Ax^2 +2A\mu x -A \mu^2 + i\xi x \quad\left( A:= \frac{1}{2\sigma^2} \right) \\ && = -Ax^2 +\left(2A\mu + i \xi \right) x -A \mu^2 \\ && = -A \left\{ x^2 - 2 \frac{B}{A} x + \frac{B^2}{A^2} \right\} + \frac{B^2}{A} -A \mu^2 \quad \left(B:= A\mu + i \frac{\xi}{2} \right)\\ && = -A \left\{ x - \frac{B}{A} \right\}^2 + \frac{B^2}{A} -A \mu^2 \end{eqnarray*}$

より，これを式(4)に戻して， $x$ に依存しない項を積分の外に出すことにより，

(7) $\begin{eqnarray*} &&\Phi_X(\xi) \\ &&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\infty}^{\infty} \exp{\left\{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} + i\xi x \right\}} \; dx \\ &&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\infty}^{\infty} \exp{\left[ -A \left\{ x - \frac{B}{A} \right\}^2 + \frac{B^2}{A} -A \mu^2 \right]} \; dx \\ &&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\infty}^{\infty} \exp{\left[ -A \left\{ x - \frac{B}{A} \right\}^2 \right]} \cdot \exp{\left[ \frac{B^2}{A} -A \mu^2 \right]} \; dx \\ &&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp{\left[ \frac{B^2}{A} -A \mu^2 \right]} \int_{-\infty}^{\infty} \exp{\left[ -A \left\{ x - \frac{B}{A} \right\}^2 \right]} \; dx \\ \end{eqnarray*}$

となる．さらに，変数変換とガウス積分の公式を用いることにより，計算を進めると，

(8) $\begin{eqnarray*} &&\Phi_X(\xi) \\ &&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp{\left[ \frac{B^2}{A} -A \mu^2 \right]} \int_{-\infty}^{\infty} \exp{\left[ -A \left\{ x - \frac{B}{A} \right\}^2 \right]} \; dx \\ &&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp{\left[ \frac{B^2}{A} -A \mu^2 \right]} \int_{-\infty}^{\infty} \exp{\left[ -A z^2 \right]} \; dx \quad \left( z:= x - \frac{B}{A} \right)\\ &&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp{\left[ \frac{B^2}{A} -A \mu^2 \right]} \cdot \sqrt{\frac{\pi}{A}} \end{eqnarray*}$

を得る．式(6)での置き換え

(9) $\begin{eqnarray*} A&:=& \frac{1}{2\sigma^2} \\ B&:=& A\mu + i \frac{\xi}{2} = \frac{\mu}{2\sigma^2} + i \frac{\xi}{2} \end{eqnarray*}$

を，式(8)に戻すと，

(10) $\begin{eqnarray*} \Phi_X(\xi) &&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp{\left[ \frac{B^2}{A} -A \mu^2 \right]} \cdot \sqrt{\frac{\pi}{A}}\\ &&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \cdot \sqrt{2\pi \sigma^2} \cdot \exp{\left[ \frac{B^2}{A} -A \mu^2 \right]} \\ &&= \exp{\left[ \frac{\left( A\mu + i \frac{\xi}{2} \right)^2}{A} -A \mu^2 \right]}\\ &&= \exp{\left[ A\mu^2+i\xi \mu - \frac{\xi^2}{4A} -A \mu^2 \right]}\\ &&= \exp{\left[ i\xi \mu - \frac{\xi^2}{4\cdot \frac{1}{2\sigma^2}} \right]} \\ &&= \exp{\left[ i\xi \mu - \frac{\xi^2 \sigma^2}{2}} \right]} \\ \end{eqnarray*}$

となり，正規分布の特性関数(1)が得られる．

正規分布の特性関数：部分積分による求式

標準正規分布の特性関数：部分積分による求式

上記では、確率密度関数から平方完成によって導出しているが，ここでは標準正規分布の場合を部分積分によって求める．

標準正規分布 ${\rm Norm}(0,1)$ に従う確率変数 $Z$ の確率密度関数は，

(11) $\begin{equation*} f_Z(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left\{-\frac{z^2}{2}\right\} \end{equation*}$

である．したがって，

(12) $\begin{equation*} \Phi_Z(\xi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\xi z}e^{-z^2/2}\,dz \end{equation*}$

と表される． $\xi$ について微分すると，

(13) $\begin{equation*} \frac{d}{d\xi} \Phi_Z (\xi)=\frac{i}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}z e^{i\xi z}e^{-z^2/2}\,dz \end{equation*}$

を得る．微分と積分の交換は， $|z|e^{-z^2/2}$ が可積分であることから正当化される．ここで，

(14) $\begin{equation*} z e^{-z^2/2}=-\frac{d}{dz}e^{-z^2/2} \end{equation*}$

であるから，部分積分によって，

(15) $\begin{eqnarray*} \frac{d}{d\xi} \Phi_Z(\xi) &=& -\frac{i}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\xi z}\frac{d}{dz}e^{-z^2/2}\,dz \\ &=& -\frac{i}{\sqrt{2\pi}}\left\{\left[e^{i\xi z}e^{-z^2/2}\right]_{-\infty}^{\infty}-i\xi\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\xi z}e^{-z^2/2}\,dz\right\} \\ &=& -\frac{\xi}{\sqrt{2\pi}}　\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\xi z}e^{-z^2/2}\,dz \\ &=& -\xi\Phi_Z(\xi) \end{eqnarray*}$

となる．第２行の境界項は， $e^{-z^2/2}\to 0$ （ $z\to\pm\infty$ ）より $0$ である．したがって， $\Phi_Z(\xi)$ は微分方程式

(16) $\begin{equation*} \frac{d}{d\xi}\Phi_Z(\xi)=-\xi\Phi_Z(\xi) \end{equation*}$

を満たす．この式より、

(17) $\begin{equation*} \frac{d}{d\xi}\left\{e^{\xi^2/2}\Phi_Z(\xi)\right\}=0 \end{equation*}$

が成り立つ．なぜなら，

(18) $\begin{eqnarray*} && \frac{d}{d\xi}\left\{e^{\xi^2/2}\Phi_Z(\xi)\right\}=0 \\ && \frac{d}{d\xi}e^{\xi^2/2} \Phi_Z(\xi) + e^{\xi^2/2} \frac{d}{d\xi} \Phi_Z(\xi) = 0 \\ && \xi e^{\xi^2/2} \Phi_Z(\xi) + e^{\xi^2/2} \frac{d}{d\xi} \Phi_Z(\xi) = 0 \\ && e^{\xi^2/2} \left\{ \xi \Phi_Z(\xi) + \frac{d}{d\xi} \Phi_Z(\xi) \right\} = 0 \\ && \xi \Phi_Z(\xi) + \frac{d}{d\xi} \Phi_Z(\xi) = 0 \quad (e^{\xi^2/2} \not= 0) \end{eqnarray*}$

であるから．
結局、微分方程式（17）の解として、 $\Phi_Z(\xi)=C e^{-\xi^2/2}$ を得る．
特性関数の定義から $\Phi_Z(0)=E[1]=1$ であるため， $C=1$ であり，

(19) $\begin{equation*} \Phi_Z(\xi)=\exp\left\{-\frac{\xi^2}{2}\right\} \end{equation*}$

を得る．

一般の正規分布の特性関数

確率変数 $X$ が ${\rm Norm}(\mu,\sigma^2)$ に従うとき， $Z:=(X-\mu)/\sigma$ は標準正規分布に従う．ゆえに $X=\mu+\sigma Z$ と表せる．このとき，

(20) $\begin{eqnarray*} \Phi_X(\xi) &=& E\left[e^{i\xi X}\right] \\ &=& E\left[e^{i\xi(\mu+\sigma Z)}\right] \\ &=& e^{i\xi\mu}E\left[e^{i(\sigma\xi)Z}\right] \\ &=& e^{i\xi\mu}\Phi_Z(\sigma\xi) \\ &=& e^{i\xi\mu}\exp\left\{-\frac{\sigma^2\xi^2}{2}\right\} \\ &=& \exp\left\{i\xi\mu-\frac{\xi^2\sigma^2}{2}\right\} \end{eqnarray*}$

となり，式(1)が得られる．

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