正規分布の特性関数の導出・計算・求め方【確率論】

 
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正規分布の特性関数とは

正規分布の特性関数

正規分布(normal distribution) {\rm Norm}(\mu, \sigma2) の特性関数(characteristic function)とは,次式で表される関数 \Phi_{\rm norm} である.
 

(1)   \begin{equation*} \Phi_{\rm norm}(\xi) = \exp \left\{ i\xi \mu - \frac{\xi^2\sigma^2}{2} \right\} \end{equation*}

 
ただし,iは虚数単位である.

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正規分布の特性関数を確率密度関数から計算・導出する

正規分布の特性関数を,定義に従って確率密度関数から導出しよう.

確率変数Xに対する特性関数の一般的定義は

(2)   \begin{equation*} \Phi_X(\xi) := E\left[e^{i\xi X}\right]  \end{equation*}

である.また,正規分布の確率密度関数は

(3)   \begin{equation*} f_{X}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp{\left\{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right\}} \quad \left(\;^{\forall} x\in (-\infty, \infty) \right) \end{equation*}

である.式(2),式(3)より,正規分布の特性関数は

(4)   \begin{eqnarray*} &&\Phi_X(\xi) \\ &&= E\left[e^{i\xi X}\right] \\ &&= \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) \; e^{i\xi x} \; dx \\ &&= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp{\left\{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right\}} \cdot \exp\left\{i\xi x \right\} \; dx \\ &&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\infty}^{\infty}  \exp{\left\{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} + i\xi x  \right\}} \; dx \\ \end{eqnarray*}

を計算することにより得られる.

式(4)の被積分関数

(5)   \begin{equation*} \exp{\left\{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} + i\xi x  \right\}} \end{equation*}

の指数部を展開して,平方完成しなおすことにより,式(4)をガウス積分の形に持っていけばよい.すなわち,

(6)   \begin{eqnarray*} &&-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} + i\xi x\\ && = -Ax^2 +2A\mu x -A \mu^2 + i\xi x \quad\left( A:= \frac{1}{2\sigma^2} \right) \\ && = -Ax^2 +\left(2A\mu + i \xi \right) x -A \mu^2 \\ && = -A \left\{ x^2 - 2 \frac{B}{A} x + \frac{B^2}{A^2} \right\} + \frac{B^2}{A} -A \mu^2 \quad \left(B:= A\mu + i \frac{\xi}{2} \right)\\ && = -A \left\{ x - \frac{B}{A} \right\}^2 + \frac{B^2}{A} -A \mu^2  \end{eqnarray*}

より,これを式(4)に戻して,xに依存しない項を積分の外に出すことにより,

(7)   \begin{eqnarray*} &&\Phi_X(\xi) \\ &&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\infty}^{\infty}  \exp{\left\{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} + i\xi x  \right\}} \; dx \\ &&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\infty}^{\infty}  \exp{\left[ -A \left\{ x - \frac{B}{A} \right\}^2 + \frac{B^2}{A} -A \mu^2   \right]} \; dx \\ &&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\infty}^{\infty}  \exp{\left[ -A \left\{ x - \frac{B}{A} \right\}^2   \right]} \cdot \exp{\left[ \frac{B^2}{A} -A \mu^2   \right]} \; dx \\ &&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp{\left[ \frac{B^2}{A} -A \mu^2   \right]}  \int_{-\infty}^{\infty}  \exp{\left[ -A \left\{ x - \frac{B}{A} \right\}^2   \right]} \; dx \\ \end{eqnarray*}

となる.さらに,変数変換とガウス積分の公式を用いることにより,計算を進めると,

(8)   \begin{eqnarray*} &&\Phi_X(\xi) \\ &&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp{\left[ \frac{B^2}{A} -A \mu^2   \right]}  \int_{-\infty}^{\infty}  \exp{\left[ -A \left\{ x - \frac{B}{A} \right\}^2   \right]} \; dx \\ &&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp{\left[ \frac{B^2}{A} -A \mu^2   \right]}  \int_{-\infty}^{\infty}  \exp{\left[ -A z^2   \right]} \; dx \quad \left( z:= x - \frac{B}{A}  \right)\\ &&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp{\left[ \frac{B^2}{A} -A \mu^2   \right]} \cdot \sqrt{\frac{\pi}{A}} \end{eqnarray*}

を得る.式(6)での置き換え

(9)   \begin{eqnarray*} A&:=& \frac{1}{2\sigma^2} \\ B&:=& A\mu + i \frac{\xi}{2} = \frac{\mu}{2\sigma^2} + i \frac{\xi}{2} \end{eqnarray*}

を,式(8)に戻すと,

(10)   \begin{eqnarray*} \Phi_X(\xi) &&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp{\left[ \frac{B^2}{A} -A \mu^2   \right]} \cdot \sqrt{\frac{\pi}{A}}\\ &&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \cdot \sqrt{2\pi \sigma^2} \cdot \exp{\left[ \frac{B^2}{A} -A \mu^2   \right]} \\ &&= \exp{\left[ \frac{\left( A\mu + i \frac{\xi}{2} \right)^2}{A} -A \mu^2   \right]}\\ &&= \exp{\left[ A\mu^2+i\xi \mu - \frac{\xi^2}{4A} -A \mu^2   \right]}\\ &&= \exp{\left[ i\xi \mu - \frac{\xi^2}{4\cdot \frac{1}{2\sigma^2}}   \right]} \\ &&= \exp{\left[ i\xi \mu - \frac{\xi^2 \sigma^2}{2}}   \right]} \\ \end{eqnarray*}

となり,正規分布の特性関数(1)が得られる.
 

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