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指数分布の計算：期待値(平均)，分散，標準偏差，累積分布関数の求め方【確率論】

 
指数分布の確率密度関数から，指数確率変数の期待値(平均) E[X]，分散 V[X]，標準偏差 √V[X]，および指数分布の累積分布関数FX(x) を計算する方法を示します．一般に，連続確率変数の期待値は，確率密度関数とその引数の積を積分することにより得られます．

指数分布の期待値・分散・標準偏差・累積分布関数

指数分布(exponential distribution)の確率密度関数(probability distribution function; PDF)

(1)   \begin{equation*} f_X(x) := \lambda e^{-\lambda x} \quad \quad ( 0\leq x \leq \infty) \end{equation*}

が与えられたとき，その期待値(expected value)E[X]，分散(variance)V[X]，標準偏差(standard deviation)\sqrt{V[X]}，および累積分布関数(cumulative distribution function; CDF)F_X(x)は，それぞれ

(2)   \begin{equation*} E[X] = \frac{1}{\lambda} \end{equation*}

(3)   \begin{equation*} V[X] = \frac{1}{\lambda^2} \end{equation*}

(4)   \begin{equation*} \sqrt{V[X]} = \frac{1}{\lambda} \end{equation*}

(5)   \begin{equation*} F_X(x) = 1 - e^{-\lambda x} \end{equation*}

となる．□

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指数分布の期待値の計算・求め方

指数分布の期待値は次の計算で求めることができる．

(6)   \begin{eqnarray*} E[X]&=& \int_A xf_X(x)dx \\ &=& \int_0^{\infty} x\lambda e^{-\lambda x}dx \\ &=& \left[ -x e^{-\lambda x} \right]_0^{\infty} - \int_0^{\infty} - e^{-\lambda x}dx \\ &=& \int_0^{\infty} e^{-\lambda x}dx \\ &=& \left[ -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} \right]_0^{\infty} \\ &=& \frac{1}{\lambda} \end{eqnarray*}

指数分布の分散と標準偏差の計算・求め方

指数分布の分散は次の計算で求めることができる．

(7)   \begin{eqnarray*} V[X]&=& E\left( (X - E[X])^2 \right) \\ &=&E[X^2] - E[X]^2 \\ &=& \int_0^{\infty} x^2 \lambda e^{-\lambda x}dx - \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2\\ &=& \left[ -x^2 e^{-\lambda x} \right]_0^{\infty} - \int_0^{\infty} - 2 x e^{-\lambda x}dx - \frac{1}{\lambda^2}\\ &=& \left[ 2x\cdot \left(-\frac{1}{\lambda}\right)\cdot e^{-\lambda x} \right]_0^{\infty} - \int_0^{\infty} - 2\cdot \left(-\frac{1}{\lambda}\right)\cdot e^{-\lambda x}dx - \frac{1}{\lambda^2}\\ &=& \int_0^{\infty} \frac{2}{\lambda} e^{-\lambda x}dx - \frac{1}{\lambda^2}\\ &=& \left[ -\frac{2}{\lambda^2} e^{-\lambda x} \right]_0^{\infty} - \frac{1}{\lambda^2}\\ &=& \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2} \\ &=& \frac{1}{\lambda^2} \end{eqnarray*}

標準偏差は分散の正平方根なので

(8)   \begin{equation*} \sqrt{V[X]} = \frac{1}{\lambda} \end{equation*}

となる．

指数分布の累積分布関数の計算・求め方

指数分布の累積分布関数は次の計算で求めることができる．

(9)   \begin{eqnarray*} F_X(x)&=& \int_0^x f_X(t)dt \\ &=& \int_0^x \lambda e^{-\lambda t}dt \\ &=& \left[ - e^{-\lambda t} \right]_0^x \\ &=& 1 - e^{-\lambda x} \end{eqnarray*}

 

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