指数分布の計算:期待値(平均),分散,標準偏差,累積分布関数の求め方【確率論】

指数分布の確率密度関数から,指数確率変数の期待値(平均) E[X],分散 V[X],標準偏差 √V[X],および指数分布の累積分布関数FX(x) を計算する方法を示します.一般に,連続確率変数の期待値は,確率密度関数とその引数の積を積分することにより得られます.

また,統計学における標本平均・標本分散・標本標準偏差の定義式も示します.こちらは「確率論における期待値・分散・標準偏差」とは関連しつつも区別される概念であり,定義式も異なります.

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指数分布の期待値・分散・標準偏差・累積分布関数

指数分布(exponential distribution)の確率密度関数(probability distribution function; PDF)

(1)   \begin{equation*} f_X(x) := \lambda e^{-\lambda x} \quad \quad ( 0\leq x \leq \infty) \end{equation*}

が与えられたとき,その期待値(expected value)E[X],分散(variance)V[X],標準偏差(standard deviation)\sqrt{V[X]},および累積分布関数(cumulative distribution function; CDF)F_X(x)は,それぞれ以下のようになる.

指数分布の期待値・分散・標準偏差・累積分布関数
期待値:

(2)   \begin{equation*} E[X] = \frac{1}{\lambda} \end{equation*}

分散:

(3)   \begin{equation*} V[X] = \frac{1}{\lambda^2} \end{equation*}

標準偏差:

(4)   \begin{equation*} \sqrt{V[X]} = \frac{1}{\lambda} \end{equation*}

累積分布関数:

(5)   \begin{equation*} F_X(x) = 1 - e^{-\lambda x} \end{equation*}

指数分布とは何か【確率論】

2019年6月25日

指数分布の期待値の計算・求め方

指数分布の期待値は次の計算で求めることができる.

(6)   \begin{eqnarray*} E[X]&=& \int_A xf_X(x)dx \\ &=& \int_0^{\infty} x\lambda e^{-\lambda x}dx \\ &=& \left[ -x e^{-\lambda x} \right]_0^{\infty} - \int_0^{\infty} - e^{-\lambda x}dx \\ &=& \int_0^{\infty} e^{-\lambda x}dx \\ &=& \left[ -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} \right]_0^{\infty} \\ &=& \frac{1}{\lambda} \end{eqnarray*}

指数分布の分散と標準偏差の計算・求め方

指数分布の分散は次の計算で求めることができる.

(7)   \begin{eqnarray*} V[X]&=& E\left( (X - E[X])^2 \right) \\ &=&E[X^2] - E[X]^2 \\ &=& \int_0^{\infty} x^2 \lambda e^{-\lambda x}dx - \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2\\ &=& \left[ -x^2 e^{-\lambda x} \right]_0^{\infty} - \int_0^{\infty} - 2 x e^{-\lambda x}dx - \frac{1}{\lambda^2}\\ &=& \left[ 2x\cdot \left(-\frac{1}{\lambda}\right)\cdot e^{-\lambda x} \right]_0^{\infty} - \int_0^{\infty} - 2\cdot \left(-\frac{1}{\lambda}\right)\cdot e^{-\lambda x}dx - \frac{1}{\lambda^2}\\ &=& \int_0^{\infty} \frac{2}{\lambda} e^{-\lambda x}dx - \frac{1}{\lambda^2}\\ &=& \left[ -\frac{2}{\lambda^2} e^{-\lambda x} \right]_0^{\infty} - \frac{1}{\lambda^2}\\ &=& \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2} \\ &=& \frac{1}{\lambda^2} \end{eqnarray*}

標準偏差は分散の正平方根なので

(8)   \begin{equation*} \sqrt{V[X]} = \frac{1}{\lambda} \end{equation*}

となる.

指数分布の累積分布関数の計算・求め方

指数分布の累積分布関数は次の計算で求めることができる.

(9)   \begin{eqnarray*} F_X(x)&=& \int_0^x f_X(t)dt \\ &=& \int_0^x \lambda e^{-\lambda t}dt \\ &=& \left[ - e^{-\lambda t} \right]_0^x \\ &=& 1 - e^{-\lambda x} \end{eqnarray*}

指数分布とは何か【確率論】

2019年6月25日

標本平均,標本分散,標本標準偏差【統計学】

「統計学における標本平均・標本分散・標本標準偏差」は,「確率論における期待値・分散・標準偏差」と関連しつつも区別される概念であり,定義式も異なる.

標本平均,標本分散,標本標準偏差の定義式は,母集団が従う分布に依存しない.

統計学において,ある母集団から採られた 標本(sample) として

(10)   \begin{equation*} x_1,x_2,...,x_i,....,x_n \end{equation*}

がなる n 個のデータが与えられたとき,そのデータの 標本平均(sample mean) \bar x,標本分散(sample variance) s^2,標本標準偏差(sample standard deviation) s は,それぞれ

(11)   \begin{equation*} \bar x := \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \end{equation*}

(12)   \begin{equation*} s^2 := \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( x_i - \bar x \right)^2 \end{equation*}

(13)   \begin{equation*} s := \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( x_i - \bar x \right)^2} \end{equation*}

で定義される.

なお,これら標本平均・標本分散はそれぞれ,母集団の母平均・母分散の推定値(estimate)となる.

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