確率分布の再生性とは何か【確率論，和の分布】

【この記事の概要】

確率分布の再生性とは，ある確率分布に従う確率変数X1とX2があったとき，その和Y:=X1+X2もまた元の確率分布に従う性質のことです．正規分布，ポアソン分布，アーラン分布，ガンマ分布などが再生性を持つ分布です．

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確率分布の再生性

$X_1, X_2$ を，それぞれ確率分布 $F_{X_1},F_{X_2}\in {\mathcal F}$ に従う確率変数であるとする．この $X_1, X_2$ の和 $Y:=X_1+X_2$ が従う確率分布 $F_{Y}$ も，元の確率分布と同じ確率分布族 ${\mathcal F}$ に含まれるとき，この分布族は再生性(reproductive property)を持つ，という．□

例えば，2つの確率変数 $X_1, X_2$ がそれぞれ ${\rm Norm}(\mu_1,\sigma_1^2)$ ， ${\rm Norm}(\mu_1,\sigma_1^2)$ なる正規分布(normal distribution)に従うとき，2つの確率変数の和 $Y:= X_1 + X_2$ は ${\rm Norm}(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$ なる正規分布に従う．この事実を指して，「正規分布は再生性を持つ」という．

逆に，2つ確率変数の和が計算できるとしても，その分布族が再生性を持たない場合もある．例えば，指数分布 ${\rm Exp(\lambda)}$ に従う2つの確率変数 $X_1, X_2$ の和 $Y:= X_1 + X_2$ は， ${\rm Erlang(2,\lambda)}$ なるアーラン分布に従う．すなわち，和の分布が元の確率変数が従う分布とは異なるため，指数分布は再生性を持たない，といえる．