2階線形常微分方程式の解き方・一般解の求め方:同次(斉次)・定数係数の場合【微分方程式】

定数係数の斉次(同次)2階線形常微分方程式の一般解の求め方を説明します.

標準形の微分方程式に変形して解く方法と,特性方程式および定数変化法を用いて解く方法の,2種類の解法があります.

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斉次(同次)2階線形常微分方程式とは

一般に,定数係数の2階線形常微分方程式(second-order linear ordinary differential equation)とは,次式のような微分方程式である.

(1)   \begin{equation*} \frac{d^2 y(x)}{dx^2} + p\frac{d y(x)}{dx} + qy(x) = r(x) \quad (p, q\in \mathbb{R} \text{ are constants.}) \end{equation*}

特に,式(1)において,任意のx に対して r(x)=0 であるとき,これを斉次あるいは同次(homogeneous)であるという.

すなわち,定数係数の斉次(同次)2階線形常微分方程式(second order linear ordinary homogeneous differential equation)とは,次式のような微分方程式である.

斉次2階線形常微分方程式

(2)   \begin{equation*} \frac{d^2 y(x)}{dx^2} + p\frac{d y(x)}{dx} + qy(x) = 0 \quad (p, q\in \mathbb{R} \text{ are constants.}) \end{equation*}

これに対して,式(1)が r(x)\not=0\;(\exist x \in \rm{supp}(y)) であるとき,これを非斉次あるいは非同次(non-homogeneous)であるという.

斉次(同次)2階線形常微分方程式の一般解

定数係数の斉次2階線形常微分方程式(2)の一般解(general solutions)は,次式である.

斉次2階線形常微分方程式の一般解

与式(2)に対して,2つの定数 \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{C} を,

(3)   \begin{eqnarray*} \lambda_1&:=&\frac12 \left( -p + \sqrt{p^2-4q} \right)\\ \lambda_2&:=&\frac12 \left( -p - \sqrt{p^2-4q} \right) \end{eqnarray*}

と定義する.このとき,式(2)の一般解は,以下の通りである.

  1. \lambda_1 \not= \lambda_2 のとき

    (4)   \begin{equation*} y(x) = C_0 e^{\lambda_1 x} + C_1 e^{\lambda_2 x} \end{equation*}

  2. \lambda:= \lambda_1 = \lambda_2 = -p/2 のとき

    (5)   \begin{equation*} y(x) = \left( C_0 x + C_1 \right)e^{\lambda x} \end{equation*}

ただし,C_0, C_1は初期条件によって定まる任意定数である.

なお,後節で述べる通り,式(3)は,式(1)の特性方程式の解として導くことができる.

斉次(同次)2階線形常微分方程式の一般解の求め方(標準形を用いる方法)

y':=\frac{d y(x)}{dx}y'':=\frac{d^2 y(x)}{dx^2} などとする.

定数係数の斉次2階線形常微分方程式(2)

(6)   \begin{equation*} y''+py'+qy=0 \end{equation*}

は,

(7)   \begin{equation*} y=f\cdot e^{-px/2} \end{equation*}

で定義される従属変数の変数変換 \mathcal{F}:y\mapsto f によって,標準形の2階微分方程式

(8)   \begin{equation*} f''+kf=0 \end{equation*}

に変形できる.ただし,k\in \mathbb{R}

(9)   \begin{equation*} k:= q - \frac{p^2}{4}  \end{equation*}

である.

2階線形常微分方程式から標準形への変換・導出【微分方程式】

2019年6月6日

標準形の2階微分方程式(8)の一般解は

(10)   \begin{eqnarray*} f(x) =& C_0 e^{i\sqrt{k}x} + C_1 e^{-i\sqrt{k}x} & \quad(k\not= 0) \\ f(x) =& C_0 x + C_1 & \quad(k=0) \end{eqnarray*}

である.ただし,iは虚数単位,C_0, C_1は初期条件によって定まる任意定数である.

2階線形常微分方程式の標準形とその一般解の求め方【微分方程式】

2019年6月3日

さて,従属変数の変数変換(7)に,標準形の一般解(10)を代入すれば,元の2階微分方程式(6)の一般解が以下のように得られる.

(11)   \begin{equation*} y(x) = \left( C_0 e^{i\sqrt{k}x} + C_1 e^{-i\sqrt{k}x} \right)e^{-px/2} \quad(k\not= 0)  \end{equation*}

(12)   \begin{equation*} y(x) = \left(  C_0 x + C_1 \right)e^{-px/2} \quad(k=0) \end{equation*}

である.式(4)および(5)は,上式(11)および(12)を,それぞれ以下の手順で整理することにより得られる.

(1)k ≠ 0 のとき

k\not= 0 のとき,式(11)を,k の定義式(9) および 定数 \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{C} の定義式(3)に注意して変形すると,

(13)   \begin{eqnarray*} y(x)  &=& \left( C_0 e^{i\sqrt{k}x} + C_1 e^{-i\sqrt{k}x} \right)e^{-px/2} \\ &&\\ &=&  C_0 e^{i\sqrt{k}x}e^{-px/2} + C_1 e^{-i\sqrt{k}x}e^{-px/2} \\ &&\\ &=&  C_0 \exp\left(-\frac{px}{2}+i\sqrt{k}x\right) + C_1 \exp\left(-\frac{px}{2}-i\sqrt{k}x\right) \\ &=&  C_0 \exp\left(-\frac{p}{2}+i\sqrt{q - \frac{p^2}{4} }\right)x + C_1 \exp\left(-\frac{p}{2}-i\sqrt{q - \frac{p^2}{4} }\right)x \\ &=&  C_0 \exp\left(-\frac{p}{2}+\sqrt{ \frac{p^2}{4} - q }\right)x + C_1 \exp\left(-\frac{p}{2}-\sqrt{ \frac{p^2}{4} - q }\right)x \\ &=&  C_0 \exp\left[x\cdot \frac{1}{2} \left( -p + \sqrt{p^2-4q} \right)\right] + C_1 \exp\left[x\cdot \frac{1}{2}} \left( -p - \sqrt{p^2-4q} \right)\right] \\ &&\\ &=&  C_0 \exp\left[x\cdot \lambda_1 \right] + C_1 \exp\left[x\cdot \lambda_2 \right] \\ &&\\ &=&  C_0 e^{\lambda_1 x} + C_1 e^{\lambda_2 x} \end{eqnarray*}

となり,式(4)を得る.

(2)k = 0 のとき

k= 0 のとき,式(9)より

(14)   \begin{eqnarray*} k=& q - \frac{p^2}{4} & = 0 \\ \therefore& p^2-4q &= 0 \end{eqnarray*}

であることに注意すると,式(3)より,定数 \lambda_1, \lambda_2 は等しく,

(15)   \begin{equation*} \lambda := \lambda_1 = \lambda_2 = -\frac{p}{2}  \end{equation*}

となる.したがって,式(12)は

(16)   \begin{eqnarray*} y(x)  &=& \left(  C_0 x + C_1 \right)e^{-px/2} \\ &&\\ &=&  \left( C_0 x + C_1 \right)e^{\lambda x} \end{eqnarray*}

となり,式(5)を得る.

斉次(同次)2階線形常微分方程式の一般解の求め方(特性方程式を用いる方法)

本節では,定数係数の斉次2階線形常微分方程式について,特性方程式と呼ばれる2次方程式を用いることにより,標準形への変換を経由せずに一般解を求める方法を述べる.

すなわち,基本解となる関数の族を仮定した上で,一般解のパラメータを特性方程式を解くことにより決定する方法である.

y':=\frac{d y(x)}{dx}y'':=\frac{d^2 y(x)}{dx^2} などとする.

解となる関数族を仮定する

定数係数の斉次2階線形常微分方程式(2)すなわち

(17)   \begin{equation*} y''+py'+qy=0 \end{equation*}

の解として

(18)   \begin{equation*} y(x)=Ce^{\lambda x} \end{equation*}

を仮定した上で,式(17)を満たす \lambda \in \mathbb{C} を決定することを考える.ただし,CC \not=0 \;(C \in \mathbb{R}) なる任意定数とする.

特性方程式によるパラメータの決定

式(18)の1階微分,2階微分が

(19)   \begin{eqnarray*} y'(x)&=&\lambda Ce^{\lambda x} \\ y''(x)&=&\lambda^2 Ce^{\lambda x} \end{eqnarray*}

であることに注意して,式(17)に式(18)を代入すると,

(20)   \begin{eqnarray*} &&y''+py'+qy=0 \\ &&\\ &\therefore& \lambda^2 Ce^{\lambda x} +p\cdot \lambda Ce^{\lambda x} +q\cdot Ce^{\lambda x} =0 \\ &&\\ &\therefore& \left( \lambda^2  +p\cdot \lambda +q \right) \cdot Ce^{\lambda x} =0  \end{eqnarray*}

となる.任意の x に対して

(21)   \begin{equation*} Ce^{\lambda x}\not=0 \end{equation*}

なので,式(20)および式(21)より,

(22)   \begin{equation*} \lambda^2  +p\cdot \lambda +q =0 \end{equation*}

を得る.この式(21)を2階微分方程式(17)の特性方程式という.

式(17)を満たす \lambda \in \mathbb{C} を求めるには, \lambda に関する2次方程式である特性方程式(22)を解けばよい.すなわち,

(23)   \begin{equation*} \lambda = \frac12 \left( -p \pm \sqrt{p^2-4q} \right) \end{equation*}

であるから,第2項の複号に対して,\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{C}

(24)   \begin{eqnarray*} \lambda_1&:=&\frac12 \left( -p + \sqrt{p^2-4q} \right)\\ \lambda_2&:=&\frac12 \left( -p - \sqrt{p^2-4q} \right) \end{eqnarray*}

とおく.これは,本稿冒頭で天下り的に与えた式(3)に他ならない.これらを式(18)に代入して,2つの解

(25)   \begin{equation*} y(x)=C_1 e^{\lambda_1 x} \end{equation*}

(26)   \begin{equation*} y(x)=C_2 e^{\lambda_2 x} \end{equation*}

を得る.

定数変化法を用いた一般解の導出

式(25)または式(26)に対して,定数変化法を行い,一般解を求める(なお,以下の議論において,式(25)と式(26),\lambda_1\lambda_2,および C_1C_2 は,入れ替えても一般性を失わない.以下,入れ替え可能であることを念頭におくとする).

定数変化法は,式(25)の定数 C_1x の関数とみなして C_1(x) と置き直し,

(27)   \begin{equation*} y(x)=C_1(x) e^{\lambda_1 x} \end{equation*}

とした上で,これが元の2階微分方程式(17)の解となるように,関数 C_1(x) を決定する方法である.

式(27)の1階微分,2階微分は,それぞれ積の微分法に注意して,

(28)   \begin{eqnarray*} y'&=& \left( C_1(x) e^{\lambda_1 x} \right)'\\ &=&C_1' e^{\lambda_1 x} + C_1 \lambda_1 e^{\lambda_1 x}\\ &=& \left( C_1' + C_1 \lambda_1 \right) e^{\lambda_1 x} \end{eqnarray*}

(29)   \begin{eqnarray*} y''&=&\left(C_1' e^{\lambda_1 x} + C_1 \lambda_1 e^{\lambda_1 x}\right)'\\ &=&C_1'' e^{\lambda_1 x} + C_1' \lambda_1 e^{\lambda_1 x} + C_1' \lambda_1 e^{\lambda_1 x} +C_1 \lambda_1^2 e^{\lambda_1 x} \\ &=&C_1'' e^{\lambda_1 x} + 2C_1' \lambda_1 e^{\lambda_1 x}  +C_1 \lambda_1^2 e^{\lambda_1 x} \\ &=& \left( C_1'' + 2C_1' \lambda_1  +C_1 \lambda_1^2 \right) e^{\lambda_1 x} \end{eqnarray*}

である.式(27)~式(29)を式(17)に代入すると,

(30)   \begin{eqnarray*} && \left( C_1'' + 2C_1' \lambda_1  +C_1 \lambda_1^2 \right) e^{\lambda_1 x}  + p\left( C_1' + C_1 \lambda_1 \right) e^{\lambda_1 x} + q C_1 e^{\lambda_1 x} = 0 \\ &&\\ &\Leftrightarrow& \left[ \left( C_1'' + 2C_1' \lambda_1  +C_1 \lambda_1^2 \right)  + p\left( C_1' + C_1 \lambda_1 \right)  + q C_1 \right] e^{\lambda_1 x} = 0 \\ &&\\ &\Leftrightarrow& \left[ \left( C_1'' + 2C_1' \lambda_1  +C_1 \lambda_1^2 \right)  + p\left( C_1' + C_1 \lambda_1 \right)  + q C_1 \right] e^{\lambda_1 x} = 0 \\ &&\\ &\Leftrightarrow& \left[ C_1'' + (2\lambda_1 +p) C_1'  + (\lambda_1^2 + p \lambda_1 +q ) C_1  \right] e^{\lambda_1 x} = 0 \\ &&\\ &\Leftrightarrow&  C_1'' + (2\lambda_1 +p) C_1'  + (\lambda_1^2 + p \lambda_1 +q ) C_1    = 0 \\ &&\\ &\Leftrightarrow&  C_1'' + (2\lambda_1 +p) C_1'   = 0 \\ &&\\ &\Leftrightarrow&  C_1'' + (\lambda_1 - \lambda_2) C_1' = 0  \end{eqnarray*}

を得る.

ただし,上式(30)の変形では,次のことを用いた.まず,任意の x,\lambda_1 に対して

(31)   \begin{equation*} e^{\lambda_1 x} \not= 0 \end{equation*}

であることから,4行目から5行目への変形が成り立つ.また,5行目の C_1 の係数 \lambda_1^2 + p \lambda_1 +q は特性方程式の左辺であって,\lambda_1 は特性方程式の解だから,

(32)   \begin{equation*} \lambda_1^2 + p \lambda_1 +q = 0 \end{equation*}

であり,5行目から6行目への変形が成り立つ.さらに,2次方程式の解と係数の関係

(33)   \begin{eqnarray*} \phi = a,b &&\\ (\phi-a)(\phi-b) &=& 0\\ \phi^2-(a+b)\phi + ab &=& 0 \end{eqnarray*}

より,特性方程式(22)の解 \lambda_1,\lambda_2 と係数 p,q について,

(34)   \begin{eqnarray*} p &=& -\lambda_1-\lambda_2\\ q &=& \lambda_1 \lambda_2 \end{eqnarray*}

が成り立つので,

(35)   \begin{eqnarray*} 2\lambda_1 + p &=& 2\lambda_1 -\lambda_1-\lambda_2\\  &=& \lambda_1 - \lambda_2 \end{eqnarray*}

となり,6行目から7行目への変形が成り立つ.

さて,式(30)の最終行の方程式

(36)   \begin{equation*} C_1'' + (\lambda_1 - \lambda_2) C_1' = 0  \end{equation*}

を解けば,C_1(x) を決定することができる.式(36)は,C_1 に関する2階微分方程式だが,C_1 の項がないため,C_1' に関する1階微分方程式とみることもできる.G:=C_1'=dC_1/dx と置くことにすると,変数分離形の解法に注意して,

(37)   \begin{eqnarray*} && C_1'' + (\lambda_1 - \lambda_2) C_1' = 0 \\ &&\\ &\Leftrightarrow& \frac{dG}{dx} + (\lambda_1 - \lambda_2) G = 0 \quad(\because \; G:=C_1') \\ &&\\ &\Leftrightarrow& \frac{dG}{dx} = - (\lambda_1 - \lambda_2) G  \\ &&\\ &\Leftrightarrow& \frac{dG}{G} =  (\lambda_2 - \lambda_1) dx  \\ &&\\ &\Leftrightarrow& \int \frac{1}{G} dG = (\lambda_2 - \lambda_1) \int dx + C_3 \quad (C_3 \text{ is a constant.}) \\ &&\\ &\Leftrightarrow& \ln G = (\lambda_2 - \lambda_1) x + C_3 \\ &&\\ &\Leftrightarrow& G = e^{(\lambda_2 - \lambda_1) x + C_3} \\ &&\\ &\Leftrightarrow& G = e^{(\lambda_2 - \lambda_1) x }\cdot e^{C_3} \\ &&\\ &\Leftrightarrow& C_1' = C_4 e^{(\lambda_2 - \lambda_1) x } \end{eqnarray*}

となる.ただし,C_3 は任意の積分定数,したがって C_4:=e^{C_3} も任意定数である.

式(37)より C_1'(x) が得られたので,これをさらに x で積分することにより C_1(x) が得られる.ただし,積分はパラメータ L:=\lambda_2 - \lambda_1 の値によって場合分けする必要がある.

最終的には,得られたC_1(x) を,最初に仮定した解(27)に代入して,斉次2階微分方程式(17)の一般解を得る.

(1)L ≠ 0 のとき

L:=\lambda_2 - \lambda_1 \not= 0 のとき,C_1'(x) の積分は

(38)   \begin{eqnarray*} C_1(x) &=& \int C_1'(x) dx \\ &&\\ &=&  C_4 \int e^{(\lambda_2 - \lambda_1) x } dx + C_5 \\ &&\\ \therefore \quad C_1(x) &=& \frac{C_4}{\lambda_2 - \lambda_1} e^{(\lambda_2 - \lambda_1) x } + C_5 &&\\ \therefore \quad C_1(x) &=& C_6 e^{(\lambda_2 - \lambda_1) x } + C_5 \end{eqnarray*}

となる.ただし C_5 は任意の積分定数であり,また第1項の定数係数を C_6:=\frac{C_4}{\lambda_2 - \lambda_1} とした.これを最初に仮定した解(27)に代入すると,一般解が

(39)   \begin{eqnarray*} y(x) &=& C_1(x)  e^{\lambda_1 x} \\ &&\\ &=& \left( C_6 e^{(\lambda_2 - \lambda_1) x } + C_5 \right) e^{\lambda_1 x} &&\\ &=& C_5 e^{\lambda_1 x} + C_6 e^{(\lambda_2 - \lambda_1) x } e^{\lambda_1 x} &&\\ \therefore \quad y(x) &=& C_5 e^{\lambda_1 x} + C_6 e^{\lambda_2 x} \end{eqnarray*}

のように得られる.これは一般解(4)に他ならない.

(2)L = 0 のとき

L:=\lambda_2 - \lambda_1 = 0 のとき,e^0=1 なので,C_1'(x) の積分は

(40)   \begin{eqnarray*} C_1(x) &=& \int C_1'(x) dx \\ &&\\ &=&  C_4 \int 1 dx + C_5 \\ &&\\ \therefore \quad C_1(x) &=& C_4 x + C_5 \\ \end{eqnarray*}

となる.ただし C_5 は任意の積分定数である.また,\lambda_2 - \lambda_1 = 0 より \lambda:=\lambda_1 = \lambda_1 とおく.これらを最初に仮定した解(27)に代入すると,一般解が

(41)   \begin{equation*} y(x) = \left( C_4 x + C_5 \right) e^{\lambda x} \end{equation*}

のように得られる.これは一般解(5)に他ならない.

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