1階常微分方程式・変数分離形の解法【微分方程式】

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変数分離形

以下の1階微分方程式の形式は変数分離形と呼ばれる.
begin{equation}
frac{dy}{dt} = f(t)g(y)
label{eq01}
end{equation}

解法

g(y)=0のとき,与式は
begin{eqnarray}
frac{dy}{dt} &=& 0 \
therefore int frac{dy}{dt} dt&=& C_0 \
y(t) &=& C_0
end{eqnarray}

g(y)not=0のとき,
begin{eqnarray}
frac{dy}{dt} &=& f(t)g(y) \
frac{1}{g(y)}frac{dy}{dt} &=& f(t) \
frac{1}{g(y)} dy &=& f(t) dt\
therefore int frac{1}{g(y)} dy &=& int f(t) dt + C_1\
end{eqnarray}
実際上は,上の積分を実行し,yについて解く.

 

例題

(1)変数分離形の1回常微分方程式
begin{equation}
frac{dy}{dt} = frac{y+1}{t+1}
end{equation}
の一般解を求める.

(2)(1)で求めた一般解に対し,
begin{equation}
y(1)=2
label{condition01}
end{equation}
なる初期条件を満たす特解を求める.

例題解答

(1)
begin{eqnarray}
frac{dy}{dt} &=& frac{y+1}{t+1}\
frac{1}{y+1}dy &=& frac{1}{t+1}dt\
int frac{1}{y+1}dy &=& int frac{1}{t+1}dt + C_1\
ln{(y+1)} &=& ln{(t+1)} + C_1\
ln{(y+1)} &=& ln{(t+1)} + C_1ln e\
ln{(y+1)} &=& ln{(t+1)} + ln e^{C_1}\
ln{(y+1)} &=& ln{C(t+1)} quad (C:=e^{C_1})\
y+1 &=& C(t+1) \
y &=& C(t+1)-1
end{eqnarray}
よって,与式の一般解は
begin{equation}
y = C(t+1)-1
label{sol01}
end{equation}

(2)一般解(ref{sol01})に初期条件(ref{condition01})を代入すると
begin{eqnarray}
2 &=& C(1+1)-1 \
2C &=& 3 \
C &=& frac32
end{eqnarray}
を得る.これを再び(ref{sol01})式に代入することにより,条件(ref{condition01})の下での特解
begin{equation}
y = frac32 t + frac12
label{sol02}
end{equation}
を得る.

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