1階 非同次 常微分方程式の例題と解法:直流RL回路【微分方程式】

直流RL回路(抵抗,コイル,直流電源を直列につないだ回路)は,1階常微分方程式によってモデル化することができます.微分方程式の例題として,直流RL回路方程式の解法を示します.

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直流RL回路

直流RL回路とは,直流電源,コイル,抵抗の3要素を直列につないだ電気回路であり,1階非同次常微分方程式によって記述できる.

定電圧直流起電力をV_0,コイルの自己インダクタンスをL,抵抗をRとし,回路を流れる電流を時刻tの関数としてI(t)と書くことにすると,コイルによる自己誘導起電力は-Lfrac{dI(t)}{dt},抵抗による電圧降下はRI(t)だから,この直流RL回路は
begin{equation}
V_0 -Lfrac{dI(t)}{dt} = RI(t)
label{eq01}
end{equation}
なる等式を満たす.(ref{eq01})式の左辺は回路の起電力の合計,右辺は回路の電圧降下である.(ref{eq01})式は電流I(t)に関する1階非同次常微分方程式であり,解析的に解くことができる.

解法

1階非同次常微分方程式(ref{eq01})式は,

 1. 式の整理
 2. 同次方程式の一般解を求める
 3. 定数変化法により非同次方程式の一般解を求める
 4. 上記3.で得た一般解に初期条件を与え,特解を求める

を順に行うことで,その解を求めることができる.

1. 式の整理

(ref{eq01})式を適当に移項して両辺をLで割ることにより,1階非同次常微分方程式
begin{equation}
frac{dI(t)}{dt} + frac{R}{L}I(t) = frac{V_0}{L}
label{eq02}
end{equation}
を得る.これを解いて,tの関数I(t)を具体的に求めることが,やるべきことである.

2. 同次方程式の一般解を求める

非同次方程式(ref{eq02})の解を直接求めることはできないので,まずV_0=0とおいた同次方程式
begin{equation}
frac{dI(t)}{dt} + frac{R}{L}I(t) = 0
label{eq03}
end{equation}
をつくり,これを解く.(ref{eq03})式は変数分離形であることに注意すれば,
begin{eqnarray}
frac{dI(t)}{dt} + frac{R}{L}I(t) &=& 0 \
frac{dI(t)}{dt} &=& -frac{R}{L}I(t) \
frac{dI(t)}{I(t)} &=& -frac{R}{L}dt \
int frac{dI(t)}{I(t)} &=& -frac{R}{L}int dt + C_0 \
ln I(t) &=& -frac{R}{L}t + C_0 \
ln I(t) &=& left(-frac{R}{L}t + C_0 right)cdot ln e \
I(t) &=& e^{-frac{R}{L}t + C_0} \
I(t) &=& e^{-frac{R}{L}t}cdot e^{C_0} \
I(t) &=& C_1 e^{-frac{R}{L}t}
label{eq04}
end{eqnarray}
を得る.これが同次方程式(ref{eq03})の一般解である.

3. 定数変化法により非同次方程式の一般解を求める

上で求めた同次方程式の一般解
begin{equation}
I(t) &=& C_1 e^{-frac{R}{L}t}
label{eq03-2}
end{equation}
に対して,定数変化法を用いる.

定数C_1tの関数C_1(t)によって置き換えた式
begin{equation}
I(t) &=& C_1(t) e^{-frac{R}{L}t}
label{eq05}
end{equation}
を考え,これを非同次方程式(ref{eq02})の解とみなしてC_1(t)を決定する.すなわち,(ref{eq05})を非同次方程式(ref{eq02})に代入して,C_1(t)について解けばよい.(ref{eq05})に関する積の微分に注意すると,
begin{eqnarray}
frac{dI(t)}{dt} + frac{R}{L}I(t) &=& frac{V_0}{L} \
&& \
frac{d}{dt}left( C_1(t) e^{-frac{R}{L}t} right) + frac{R}{L}C_1(t) e^{-frac{R}{L}t} &=&frac{V_0}{L} \
&&\
left( frac{dC_1(t)}{dt} e^{-frac{R}{L}t} + C_1(t) frac{d}{dt} e^{-frac{R}{L}t}right) + frac{R}{L}C_1(t) e^{-frac{R}{L}t} &=& frac{V_0}{L} \
&&\
frac{dC_1(t)}{dt} cdot e^{-frac{R}{L}t} ; – ; underline{ C_1(t) cdot frac{R}{L} e^{-frac{R}{L}t} } ; + ; underline{ frac{R}{L}C_1(t) e^{-frac{R}{L}t}} &=& frac{V_0}{L} \
&&\
frac{dC_1(t)}{dt} e^{-frac{R}{L}t} &=& frac{V_0}{L} \
&&\
frac{dC_1(t)}{dt} &=& frac{V_0}{L} e^{frac{R}{L}t}
label{eq06}
end{eqnarray}
を得る.さらに,上式両辺をtで積分すれば,
begin{eqnarray}
int frac{dC_1(t)}{dt} dt &=& frac{V_0}{L} int e^{frac{R}{L}t} dt + C_2\
&&\
C_1(t) &=& frac{V_0}{L} frac{L}{R} e^{frac{R}{L}t} + C_2 \
&&\
C_1(t) &=& frac{V_0}{R} e^{frac{R}{L}t} + C_2
label{eq07}
end{eqnarray}
を得る.ただし,C_2は不定な積分定数である.これを(ref{eq05})式に代入すれば,
begin{eqnarray}
I(t) &=& C_1(t) e^{-frac{R}{L}t} \
&& \
I(t) &=& left( frac{V_0}{R} e^{frac{R}{L}t} + C_2 right) e^{-frac{R}{L}t}\
label{eq08}
end{eqnarray}
より,非同次方程式(ref{eq02})の一般解
begin{equation}
I(t) = frac{V_0}{R} + C_2 e^{-frac{R}{L}t}
label{eq09}
end{equation}
を得る.

4. 上記3.で得た一般解に初期条件を与え,特解を求める

非同次方程式(ref{eq02})の一般解(ref{eq09})は不定な定数C_2を含む関数族である.ここに,初期条件を与えること(すなわち,特定の時刻にとる状態をひとつ指定すること)により,特解(すなわちtの関数)を求める.ここでは,初期条件を
begin{equation}
I(0) = 0
label{eq10}
end{equation}
としたときの特解を求めてみよう.すなわち,(ref{eq09})が(ref{eq10})を満たさなければならないので,
begin{eqnarray}
I(0) = frac{V_0}{R} + C_2 e^{-frac{R}{L}cdot 0} &=& 0
&& \
C_2 &=& – frac{V_0}{R}
label{eq11}
end{eqnarray}
を得る.これを再び(ref{eq09})に代入すれば,初期条件(ref{eq10})の下での非同次方程式(ref{eq02})の特解
begin{equation}
I(t) = frac{V_0}{R}left(1- e^{-frac{R}{L}t} right)
label{eq12}
end{equation}
を得る.なお,上式で極限tto inftyをとるとき,定常状態としてオームの法則
begin{equation}
I = frac{V_0}{R}
label{eq13}
end{equation}
を得る.すなわち,時刻0で定圧起電力V_0を開始する直流RL回路の電流は,コイルの自己誘導起電力に由来する過渡現象を経て,十分時間が経過した後,オームの法則に基づく定常電流となる.

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