2階線形常微分方程式の標準形とその一般解の求め方【微分方程式】

2階線形常微分方程式の標準形と,その一般解の求め方を説明します.

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2階線形常微分方程式の標準形とは

2階線形常微分方程式(second order linear ordinary differential equation)について,以下のような形式は,標準形(canonical form)と呼ばれる.

2階線形常微分方程式の標準形

(1)   \begin{equation*} \frac{d^2 f(x)}{dx^2} + kf(x) = 0 \quad (k\in \mathbb{R} \text{ is a constant.}) \end{equation*}

定数係数の斉次2階線形常微分方程式

(2)   \begin{equation*} \frac{d^2 y(x)}{dx^2} + p\frac{d y(x)}{dx} + qy(x) = 0 \quad (p, q\in \mathbb{R} \text{ are constants.}) \end{equation*}

は,適当な変数変換によって標準形(1)に帰着する.

2階線形常微分方程式の標準形の一般解

2階線形常微分方程式の標準形(1)の一般解(general solution)は以下の通りである.

標準形2階線形常微分方程式の一般解
  1. k\not= 0(k\in \mathbb{R}) のとき

    (3)   \begin{equation*} f(x) = C_0 e^{i\sqrt{k}x} + C_1 e^{-i\sqrt{k}x} \end{equation*}

  2. k= 0 のとき

    (4)   \begin{equation*} f(x) = C_0 x + C_1 \end{equation*}

ただし,iは虚数単位,C_0, C_1は初期条件によって定まる任意定数である.

あるいは,係数kを正負で場合分けすることにより,標準形(1)の一般解を以下のように書くこともできる.

標準形2階線形常微分方程式の一般解(係数kの正負による場合分け)
  1. \omega^2:=k > 0(\omega \in \mathbb{R}) のとき

    (5)   \begin{equation*} f(x) = A \cos \omega x + B \sin \omega x \end{equation*}

  2. -\lambda^2:=k < 0(\lambda \in \mathbb{R}) のとき

    (6)   \begin{equation*} f(x) = C_0 e^{\lambda x} + C_1 e^{-\lambda x} \end{equation*}

  3. k= 0 のとき

    (7)   \begin{equation*} f(x) = C_0 x + C_1 \end{equation*}

ただし,A,B,C_0, C_1 は初期条件によって定まる任意定数である.

なお,\omega^2:=k > 0(\omega \in \mathbb{R}) のときの式(5)

    \begin{equation*} f(x) = A \cos \omega x + B \sin \omega x \end{equation*}

については,次の3つの式が同値である.

(8)   \begin{equation*} f(x) = A_0 \cos (\omega x + \delta_A) \end{equation*}

(9)   \begin{equation*} f(x) = B_0 \sin (\omega x + \delta_B) \end{equation*}

(10)   \begin{equation*} f(x) = C_0 e^{i\omega x} + C_1 e^{- i \omega x} \end{equation*}

ただし,A,B,A_0,B_0,\delta_A,\delta_B,C_0, C_1 は初期条件によって定まる任意定数である.

式(5)から式(8)~式(9)を導出する方法は,後節に述べる.

また,式(5)および式(6)をまとめて,式(3)とする方法についても,後節に述べる.

2階線形常微分方程式の標準形の一般解の求め方

標準形2階線形常微分方程式(1)の一般解(5)~(7)の求め方を示す.

f'(x):=\frac{d f(x)}{dx}f''(x):=\frac{d^2 f(x)}{dx^2} とする.

式(1)の係数k\in \mathbb{R} について,(i) k>0,(ii) k<0,(iii) k=0 と場合分けする.

(i) k>0 のとき

\omega^2:=k\;(\omega \in \mathbb{R}) とする.このとき,与式(1)は

(11)   \begin{equation*} f''(x) + \omega^2 f(x) = 0 \end{equation*}

と書ける.ここで,

(12)   \begin{equation*} f(x) = \cos \omega x  \end{equation*}

と仮定すると,その2階微分

(13)   \begin{eqnarray*} f'(x) &=& -\omega \sin \omega x \\ f''(x) &=& - \omega^2 \cos \omega x = - \omega^2 f(x) \end{eqnarray*}

より,2行目右辺を移行して式(11)を得る.すなわち,式(12)は式(11)を満たすので,\omega^2:=k>0 の下で式(12)は標準形微分方程式(1)のひとつの解である.

次に,

(14)   \begin{equation*} f(x) = \sin \omega x  \end{equation*}

と仮定すると,その2階微分

(15)   \begin{eqnarray*} f'(x) &=& \omega \cos \omega x \\ f''(x) &=& - \omega^2 \sin \omega x = - \omega^2 f(x) \end{eqnarray*}

より,この場合も,右辺を移行して式(11)を得る.すなわち,式(14)も式(11)を満たすので,\omega^2:=k>0 の下で式(14)も標準形微分方程式(1)のひとつの解である.

さらに,式(12)および(14)の線形結合

(16)   \begin{equation*} f(x) = A \cos \omega x + B \sin \omega x \quad(A,B \text{are constants.}) \end{equation*}

についても,同様に2階微分をとることにより,\omega^2:=k>0 の下で標準形2階微分方程式(1)の解となることがわかる.

この式(16)が,標準形2階微分方程式(11)の一般解(5)に他ならない.

なお,一般解(16)の各項(12)および(14)は,微分方程式(11)の基本解という.

(ii) k<0 のとき

-\lambda^2:=k\;(\lambda \in \mathbb{R}) とする.このとき,与式(1)は

(17)   \begin{equation*} f''(x) - \lambda^2 f(x) = 0 \end{equation*}

と書ける.ここで,

(18)   \begin{equation*} f(x) = e^{\pm \lambda x} \end{equation*}

と仮定すると,その2階微分

(19)   \begin{eqnarray*} f'(x) &=& \pm \lambda e^{\pm \lambda x}\\ f''(x) &=& \lambda^2 e^{\pm \lambda x} = \lambda^2 f(x) \end{eqnarray*}

より,2行目右辺を移行して式(17)を得る.すなわち,式(18)は式(17)を満たすので,式(17)すなわち

(20)   \begin{equation*} f(x) = e^{\lambda x} \end{equation*}

および

(21)   \begin{equation*} f(x) = e^{- \lambda x} \end{equation*}

は,-\lambda^2:=k<0 の下で,それぞれ標準形微分方程式(1)の解である.

さらに,式(20)および(21)の線形結合

(22)   \begin{equation*} f(x) = C_0 e^{\lambda x} + C_1 e^{- \lambda x} \quad(C_0,C_1 \text{ are constants.}) \end{equation*}

についても,同様に2階微分をとることにより,-\lambda^2:=k<0 の下で標準形2階微分方程式(1)の解となることがわかる.

この式(22)が,標準形2階微分方程式(17)の一般解(6)に他ならない.

なお,一般解(22)の各項(20)および(21)は,微分方程式(17)の基本解という.

(iii) k=0 のとき

与式(1k=0 とすると

(23)   \begin{equation*} f''(x) = 0 \end{equation*}

を得る.ここから f(x) を得るには,式(23)を2回積分するだけでよい.すなわち,

(24)   \begin{eqnarray*} f'(x) &=& \int f''(x)dx = C_0 \\ f(x) &=& \int f'(x)dx = \int C_0 dx = C_0 x + C_1 \end{eqnarray*}

ただし,C_0, C_1は積分定数である.

結局これによって,k=0 の下での標準形2階微分方程式(1)の一般解(7)

(25)   \begin{equation*} f(x) = C_0 x + C_1 \end{equation*}

を得る.

2階線形常微分方程式の標準形の一般解の表現変換

標準形2階線形常微分方程式の一般解には,一見すると異なる,複数の書き方がある.

三角関数の合成を用いた一般解の表現変換

k>0 の下での一般解(5)すなわち(16)

    \begin{equation*} f(x) = A \cos \omega x + B \sin \omega x \quad(A,B \text{ are constants.}) \end{equation*}

は,三角関数の合成によって,式(8)

    \begin{equation*} f(x) = A_0 \cos (\omega x + \delta_A) \quad(A_0,\delta_A \text{ are constants.}) \end{equation*}

あるいは式(9)

    \begin{equation*} f(x) = B_0 \sin (\omega x + \delta_B) \quad(B_0,\delta_B \text{ are constants.}) \end{equation*}

のように書き換えることができる.

オイラーの公式を用いた一般解の表現変換

k>0 の下での一般解(5)すなわち(16)

    \begin{equation*} f(x) = A \cos \omega x + B \sin \omega x \quad(A,B \text{ are constants.}) \end{equation*}

は,オイラーの公式(Euler’s formula)を用いて,式(10)

    \begin{equation*} f(x) = C_0 e^{i\omega x} + C_1 e^{- i \omega x} \quad(C_0,C_1 \text{ are constants.}) \end{equation*}

のように書き換えることができる.

オイラーの公式は

(26)   \begin{equation*} e^{\pm i \lambda x} = \cos \lambda x \pm i \sin \lambda x  \end{equation*}

であり,これを用いて,指数関数と三角関数を互いに変換することができる.式(26)の正負両式を,辺々足し引きすることにより,余弦および正弦の指数関数表示を得る.余弦については

(27)   \begin{eqnarray*} e^{i \lambda x} + e^{-i \lambda x} &=& 2 \cos \lambda x \\ \therefore \; \cos \lambda x &=& \frac12 \left( e^{i \lambda x} + e^{-i \lambda x} \right) \end{eqnarray*}

であり,正弦については

(28)   \begin{eqnarray*} e^{i \lambda x} - e^{-i \lambda x} &=& 2i \sin \lambda x \\ \therefore \; \sin \lambda x &=& \frac{1}{2i} \left( e^{i \lambda x} - e^{-i \lambda x} \right)\\ &=& -\frac{i}{2} \left( e^{i \lambda x} - e^{-i \lambda x} \right) \end{eqnarray*}

である.

式(27)および式(28)を式(5)に代入すると,

(29)   \begin{eqnarray*} f(x)  &=& A \cos \omega x + B \sin \omega x\\ &=& \frac{A}{2} \left( e^{i \omega x} + e^{-i \omega x} \right) - i \frac{B}{2} \left( e^{i \lambda x} - e^{-i \lambda x} \right)\\ &=& \frac{1}{2} \left(A-iB  \right) e^{i \omega x} + \frac{1}{2} \left(A+iB  \right) e^{-i \omega x}\\ &=& C_0 e^{i\omega x} + C_1 e^{- i \omega x} \end{eqnarray*}

となり,式(10)を得る.

係数の正負に伴う一般解の場合分けを統合する

式(1)の係数 k の正負に伴って場合分けされた一般解(5)および(6)をまとめて,式(3)とする方法について述べる.

式(5)は式(10)と書き直せることを既に述べので,(10)と(6)をまとめる.

式(10)について,\omega の定義 \omega^2:=k > 0(\omega \in \mathbb{R}) より,

(30)   \begin{equation*} \omega^2=k \Leftrightarrow \omega=\pm \sqrt{k} \quad (k > 0, \omega \in \mathbb{R}) \end{equation*}

したがって

(31)   \begin{eqnarray*} f(x) &=& C_0 e^{i\omega x} + C_1 e^{- i \omega x} \\ &=& C_0 e^{\pm i\sqrt{k} x} + C_1 e^{\mp i\sqrt{k} x} \end{eqnarray*}

だが,一般解(10)において,任意定数 C_0,C_1 は不定であることに注意すると,適宜これらを入れ替えてもよいので,一般に式(10)を

(32)   \begin{equation*} f(x) = C_0 e^{i\sqrt{k} x} + C_1 e^{- i\sqrt{k} x} \quad(C_0,C_1 \text{ are constants.}) \end{equation*}

と書いてよい.

次に,式(6)について,\lambda の定義 -\lambda^2:=k < 0(\lambda \in \mathbb{R}) より,

(33)   \begin{eqnarray*} \lambda^2=-k  &\Leftrightarrow& \lambda =\pm \sqrt{-k} \quad (k < 0, \lambda \in \mathbb{R})\\ &\Leftrightarrow& \lambda =\pm i\sqrt{k} \quad (k < 0, \lambda \in \mathbb{R})\\ \end{eqnarray*}

したがって

(34)   \begin{eqnarray*} f(x) &=& C_0 e^{\lambda x} + C_1 e^{-\lambda x} \\ &=& C_0 e^{\pm i\sqrt{k} x} + C_1 e^{\mp i\sqrt{k} x} \end{eqnarray*}

であり,k>0 の場合と同様,一般解(6)において任意定数 C_0,C_1 は不定であることに注意すると,一般に式(6)を

(35)   \begin{equation*} f(x) = C_0 e^{i\sqrt{k} x} + C_1 e^{- i\sqrt{k} x} \quad(C_0,C_1 \text{ are constants.}) \end{equation*}

と書いてよい.

以上により,式(5)および(6)は,式(3)に帰着する.

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