2階線形常微分方程式から標準形への変換・導出【微分方程式】

斉次2階線形常微分方程式を,変数変換によって標準形に書き直す方法を説明します.

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2階線形常微分方程式の標準形とは

2階線形常微分方程式(second order linear ordinary differential equation)において,以下のような形式を,標準形(canonical form)という.

2階線形常微分方程式の標準形

(1)   \begin{equation*} \frac{d^2 f(x)}{dx^2} + kf(x) = 0 \quad (k\in \mathbb{R} \text{ is a constant.}) \end{equation*}

2階線形微分方程式から標準形への変換

定数係数の斉次2階線形常微分方程式

(2)   \begin{equation*} \frac{d^2 y(x)}{dx^2} + p\frac{d y(x)}{dx} + qy(x) = 0 \quad (p, q\in \mathbb{R} \text{ are constants.}) \end{equation*}

は,従属変数 y に関する次のような変数変換によって,標準形(1)に書き直すことができる.

2階線形常微分方程式から標準形に書き直しに用いる変数変換
斉次2階線形常微分方程式(2)は,

(3)   \begin{equation*} f(x):=y(x)\cdot e^{px/2} \end{equation*}

によって定義される従属変数の変数変換 \mathcal{F}:y\mapsto f によって,標準形(1)に変換される.

2階線形微分方程式から標準形への変換の計算方法

y':=\frac{d y(x)}{dx}y'':=\frac{d^2 y(x)}{dx^2} などとする.

定数係数の斉次2階線形常微分方程式(2)

(4)   \begin{equation*} y'' + py' + qy = 0 \end{equation*}

に対して,式(3)で定義される新たな従属変数 f を導入する.式(3)より

(5)   \begin{equation*} y=f\cdot e^{-px/2} \end{equation*}

である.積の微分法に注意すると,式(5)の1階微分,2階微分はそれぞれ

(6)   \begin{eqnarray*} y' &=&\left( f\cdot e^{-px/2} \right)'\\ &=& f'\cdot e^{-px/2} + f\cdot \left(  e^{-px/2} \right)'\\ &=& f'\cdot e^{-px/2} - \frac{p}{2} f \cdot  e^{-px/2} \\ &=& \left( f' - \frac{p}{2} f \right)  e^{-px/2}  \end{eqnarray*}

(7)   \begin{eqnarray*} y'' &=&\left( y'  \right)'\\ &=&\left[ \left( f' - \frac{p}{2} f \right) \cdot e^{-px/2}   \right]'\\ &=& \left( f' - \frac{p}{2} f \right)' \cdot e^{-px/2} +  \left( f' - \frac{p}{2} f \right) \cdot \left(  e^{-px/2} \right)' \\ &=& \left( f'' - \frac{p}{2} f' \right)  e^{-px/2} - \frac{p}{2}  \left( f' - \frac{p}{2} f \right)  e^{-px/2}  \\ &=& \left( f'' - p \cdot f'   + \frac{p^2}{4} f \right)  e^{-px/2} \end{eqnarray*}

となる.式(4)~(6)を式(4)左辺に代入すると

(8)   \begin{eqnarray*} && y'' + py' + qy \\ &=& \left( f'' - p \cdot f'   + \frac{p^2}{4} f \right)  e^{-px/2} + p\left( f' - \frac{p}{2} f \right)  e^{-px/2} + q f e^{-px/2}\\ &=& \left[ \left( f'' - p \cdot f'   + \frac{p^2}{4} f \right)  + p\left( f' - \frac{p}{2} f \right)  + q f \right] e^{-px/2}\\ &=& \left[  f'' - p \cdot f'   + \frac{p^2}{4} f  + p f' - \frac{p^2}{2} f + q f \right] e^{-px/2}\\ &=& \left[  f''    + \left( q - \frac{p^2}{4}  \right) f \right] e^{-px/2} \end{eqnarray*}

となる.ところで,px の任意の値に対して,e^{-px/2}\not= 0 であることから,

(9)   \begin{eqnarray*} && y'' + py' + qy=0 \\ &\Leftrightarrow& \left[  f''    + \left( q - \frac{p^2}{4}  \right) f \right] e^{-px/2}=0\\ &\Leftrightarrow&   f''    + \left( q - \frac{p^2}{4}  \right) f  =0  \end{eqnarray*}

である.すなわち,式(4)を解くことは,

(10)   \begin{equation*} f''    + \left( q - \frac{p^2}{4}  \right) f  =0  \end{equation*}

を解くことに帰着する.定数 k\in \mathbb{R}

(11)   \begin{equation*} k:= q - \frac{p^2}{4}  \end{equation*}

と定義すれば,式(10)は,標準形の2階微分方程式(1)に他ならない.

以上で,斉次2階線形常微分方程式(2)から標準形(1)への変形が完了した.

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