統計的推定，点推定値，推定量の定義と意味【統計学】

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定義：推定，点推定値，推定量

母集団や分布を特徴づけるパラメータ $\theta$ を， $n$ 個の標本から得た観測値 $x_1,...,x_n$ や $n$ 個のiid確率変数 $X_1,...,X_n$ を引数とする関数 $T$ によって予想することを推定(estimation)あるいは統計的推定(statistical estimation)という．

パラメータ $\theta$ を観測値 $x_1,...,x_n$ を引数とする関数 $T$ によって推定するとき，この値を

(1) $\begin{equation*} \hat \theta = T(x_1,...,x_n) \end{equation*}$

のように $\hat$ を付けて $\hat \theta$ と書き，これを $\theta$ の点推定値(point estimate)あるいは単に推定値(estimate)という．

標本を表す $n$ 個のiid確率変数 $X_1,...,X_n$ を引数とする関数を統計量(statistic)というが，関数(1)の引数をiid確率変数 $X_1,...,X_n$ とした統計量

(2) $\begin{equation*} T = T(X_1,...,X_n) \end{equation*}$

をパラメータ $\theta$ の推定量(estimator)という．

推定値と推定量の関係

確率変数の関数は確率変数なので，一般に統計量は確率変数である．したがって，パラメータ $\theta$ の推定量 $T = T(X_1,...,X_n)$ (すなわち(2))もまた確率変数である．他方，パラメータ $\theta$ の推定値 $\hat \theta = T(x_1,...,x_n)$ (すなわち(1))は特定の実数値であるが，その引数 $x_1,...,x_n$ を確率変数 $X_1,...,X_n$ の実現値であると考えれば，推定値 $\hat theta$ を推定量 $T$ の実現値であるとみなすことができる．

推定値と推定量の例

例１：確率分布のパラメータ推定

ある確率分布に従う確率変数 $X$ の期待値(expected value)が $E[X]=\mu$ であるとする．また，この分布に関するiid確率変数列を $X_1,...,X_n$ とし，それらの実現値を $x_1,...,x_n$ とする．このとき， $\mu$ の推定量は $X_1,...,X_n$ の標本平均

(3) $\begin{equation*} \bar X = \sum_{i=1}^{n} X_i \end{equation*}$

であり， $\mu$ の推定値は $x_1,...,x_n$ の標本平均

(4) $\begin{equation*} \bar x = \sum_{i=1}^{n} x_i \end{equation*}$

である． $\mu$ の推定量 $\bar X$ は確率変数であり， $\mu$ の推定値 $\bar x$ はその実現値である．

例２：母集団のパラメータ推定

ある母集団(population)の母平均(population mean)が $\mu$ であるとし，母集団から得られた $n$ 個の標本を $x_1,...,x_n$ とする．また，これらの観測値をiid確率変数 $X_1,...,X_n$ の実現値であるとみなすことにする．このとき， $\mu$ の推定値は $x_1,...,x_n$ の標本平均

(5) $\begin{equation*} \bar x = \sum_{i=1}^{n} x_i \end{equation*}$

であり， $\mu$ の推定量は $X_1,...,X_n$ の標本平均

(6) $\begin{equation*} \bar X = \sum_{i=1}^{n} X_i \end{equation*}$

である． $\mu$ の推定量 $\bar X$ は確率変数であり， $\mu$ の推定値 $\bar x$ はその実現値である．

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