ベルヌーイ分布の計算：期待値(平均)，分散，標準偏差の求め方【確率論】
ベルヌーイ分布の確率質量関数から，ベルヌーイ確率変数の期待値(平均)，分散，標準偏差を計算する方法を示します．ベルヌーイ分布は1回のベルヌーイ試行が従う確率分布であり，試行回数n=1とした二項分布B(1,p)に一致します…
確率論
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二項分布を正規分布で近似する計算と証明：中心極限定理の特殊な場合【確率論】
二項分布B(n,p)の確率変数Xについて，試行回数nが十分大きいとき，Xは近似的に正規分布 Norm(np, np(1-p)) に従うことを示します．二項分布の正規分布近似は，二項分布の確率質量関数の期待値周りにおけるテ…
確率論
二項分布の計算：期待値(平均)，分散，標準偏差の求め方【確率論】
二項分布の確率質量関数から，二項確率変数の期待値(平均)，分散，標準偏差を計算する方法を示します．一般に，離散確率変数の期待値は，確率質量関数とその引数の積の総和として定義されます． また，統計学における標本平均・標本分…
確率論
確率論と統計学の表記法と意味
確率論と統計学は深く関係していると同時に，全く異なる方法論でもあります．関係性の深さゆえに「確率・統計」と併記されることも少なくありませんが，確率論と統計学はそれぞれ別の体系であるという視点も重要です．例えば，確率論にお…
確率論
指数分布の和はアーラン分布となることを証明する/アーラン分布の導出【確率論】
指数分布に従う独立な確率変数の和はアーラン分布に従うこと，すなわちアーラン分布は指数分布の和の分布として導出されることを示します．指数分布およびアーラン分布は待ち行列理論において頻出します． 指数分布の和の分布はアーラン…
確率論
正規分布の計算：期待値(平均)，分散，標準偏差の求め方【確率論】
正規分布の確率密度関数から，正規確率変数の期待値(平均)・分散・標準偏差を計算する方法を示します．計算の過程ではガウス積分の公式を用います．一般に，連続確率変数の期待値は，確率密度関数とその引数の積を積分することにより得…
確率論
正規分布の再生性の証明：和の分布の計算と畳み込み【確率論】
互いに独立な正規確率変数の和の分布が再び正規分布となること，すなわち正規分布が再生性を持つことを証明します．正規分布の畳み込み計算の詳細を示します． 正規分布の再生性(reproductive property of t…
微積分
ガウス積分の公式を証明/導出する【微積分】
ガウス積分の公式の導出方法を示します． より一般的な「指数部が多項式である場合」についても説明し，正規分布（ガウス分布）との関係を述べます． ヤコビアンを用いて２重積分の極座標変換をおこないます． ガウス積分は正規分布の…
確率論
確率分布の再生性とは何か【確率論，和の分布】
確率分布の再生性とは，ある確率分布に従う確率変数X1とX2があったとき，その和Y:=X1+X2もまた元の確率分布に従う性質のことです．正規分布，ポアソン分布，アーラン分布，ガンマ分布などが再生性を持つ分布です． 確率分布…
確率論
ガンマ分布の和 再生性の証明【確率論，和の分布，畳み込み，指数分布】
ガンマ確率変数X1，X2の和Y:=X1＋X2が再びガンマ分布に従うこと，すなわちガンマ分布が再生性を持つことを示します． ガンマ分布の再生性(reproducing property of the gamma distr…