ポアソン分布の和の計算：再生性の証明・和の分布と畳み込み【確率論】

「互いに独立なポアソン確率変数の和は，再びポアソン分布に従うこと」，すなわち，ポアソン分布が再生性を持つことを証明します．ポアソン分布の畳み込み計算の詳細を示します．

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ポアソン分布の再生性 (reproductive property of Poisson distribution)

ポアソン分布の再生性

互いに独立な確率変数 $X_1, X_2$

が，それぞれパラメータ $\lambda_1,\lambda_2$

のポアソン分布(Poisson distribution)

(1) $\begin{equation*} \Pr(X_i=x_i) = P_{X_i}(x_i) = \frac{(\lambda_i)^{x_i}}{x_i!} e^{-\lambda_i} \qquad (i = 1,2) \end{equation*}$

に従うとき，これらの確率変数の和 $Y= X_1 + X_2$ は

(2) $\begin{equation*} \Pr(Y=y) = P_Y(y) = \frac{(\lambda_1 + \lambda_2)^{y}}{y!} e^{-(\lambda_1+\lambda_2)} \end{equation*}$

なるポアソン分布に従う．すなわち，ポアソン分布は再生性を持つ．□

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証明（ポアソン分布の再生性）

互いに独立な２つの確率変数の和の確率分布は，もとの確率分布関数の畳み込み(convolution)を計算することで求められる[Point 1]．すなわち

(3) $\begin{equation*} P_Y(y) = \sum^{y}_{x_1=0} P_{X_1}(x_1)P_{X_2}(y-x_1). \end{equation*}$

式(2)は，式(3)の右辺を計算することで求められる．式(3)の $P_{X_1}(x_1)$ ， $P_{X_2}(y-x_1)$ を具体的に書くと

(4) $\begin{equation*} P_Y(y) = \sum^{y}_{x_1=0} \left( \frac{\lambda_1^{x_1}}{x_1!}e^{-\lambda_1} \cdot \frac{\lambda_2^{y-x_1}}{(y-x_1)!}e^{-\lambda_2} \right) . \end{equation*}$

さらに， $x_1$ に依存しない定数を $\sum$ の外に出す：

(5) $\begin{equation*} P_Y(y) = e^{-(\lambda_1+\lambda_2)} \sum^{y}_{x_1=0} \frac{\lambda_1^{x_1}\lambda_2^{y-x_1}}{x_1!(y-x_1)!} \end{equation*}$

分母にある階乗の項( $x_1!(y-x_1)!$ )をうまく処理するために右辺の分母と分子に $y!$ をかける：

(6) $\begin{equation*} P_Y(y) = e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}\frac{1}{y!} \sum^{y}_{x_1=0} \frac{y!}{x_1!(y-x_1)!}\lambda_1^{x_1}\lambda_2^{y-x_1} \end{equation*}$

これによって，上式は組合せ(combination)

(7) $\begin{equation*} _{y}{\rm C}_{x_1}=\frac{y!}{x_1!(y-x_1)!} \end{equation*}$

を使って

(8) $\begin{equation*} P_Y(y) = e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}\frac{1}{y!} \sum^{y}_{x_1=0} _{y}{\rm C}_{x_1} \lambda_1^{x_1}\lambda_2^{y-x_1} \end{equation*}$

のように書ける．ここに二項定理(binomial theorem)

(9) $\begin{equation*} (\lambda_1+\lambda_2)^y = \sum^{y}_{x_1=0} _{y}{\rm C}_{x_1} \lambda_1^{x_1}\lambda_2^{y-x_1} \end{equation*}$

を用いると

(10) $\begin{equation*} P_Y(y) = \frac{(\lambda_1 + \lambda_2)^{y}}{y!} e^{-(\lambda_1+\lambda_2)} \end{equation*}$

を得る．すなわち，パラメータが各々 $\lambda_1, \lambda_2$ である2つのポアソン確率変数の和の確率分布は，パラメータ $\lambda_1 + \lambda_2$ のポアソン分布となる．■

Point 1

非負整数の集合を ${\mathbb Z}_+$ で表すことにする．ある非負整数 $y$ に対して， $y = x_1 + x_2$ を満たすような2つの非負整数の組 $(x_1,x_2)$ の集合を

(11) $\begin{eqnarray*} U_y &=& \left\{(x_1,x_2) \;|\; y = x_1 + x_2, \;(x_1,x_2) \in {\mathbb Z}_+ \times {\mathbb Z}_+ \right\} \\ &=& \{(0,y),(1,y-1),(2,y-2),\cdots, (y,0) \} \end{eqnarray*}$

とすると，和の分布は

(12) $\begin{eqnarray*} P_Y(y) &=& P_Y(x_1 + x_2) \\ &=& \sum_{(x_1,x_2) \in U_y} P_1(x_1)P_2(x_2) \\ &=& P_1(0)P_2(y) + P_1(1)P_2(y-1) + \cdots + P_1(y)P_2(0) \\ &=& \sum^{y}_{x_1=0} P_1(x_1)P_2(y-x_1) \end{eqnarray*}$