期待値(平均)・分散・標準偏差の定義と計算 公式 求め方【確率論】

 

 
確率論における期待値(平均)・分散・標準偏差の定義と計算方法を示します.期待値は確率密度関数(または確率質量関数)が与えられたときに,その引数との積の積分(または総和)として計算されます.期待値は,統計学における標本平均とは区別される概念です.

期待値(expected value) あるいは 平均(mean)

連続確率変数の期待値

定義:連続確率変数の期待値

確率密度分布f_X(x)に従う連続確率変数Xの期待値(expected value)(あるいは平均(mean))E[X] とは,次式で定義される値である.

(1)   \begin{equation*} E[X]:= \int_S xf_X(x)dx \end{equation*}

ただし,S:=supp(f_X)f_Xの台(support) である.

連続確率変数の期待値の求め方:例.指数分布の期待値

指数分布の確率密度関数は

(2)   \begin{equation*} f_X(x) := \lambda e^{-\lambda x} \end{equation*}

で与えられ,またx\in [0,\infty)である.したがって指数分布の期待値は,

(3)   \begin{eqnarray*} E[X]&=& \int_S xf_X(x)dx \\ &=& \int_0^{\infty} x\lambda e^{-\lambda x}dx \\ &=& \left[ -x e^{-\lambda x} \right]_0^{\infty} - \int_0^{\infty} - e^{-\lambda x}dx \\ &=& \int_0^{\infty} e^{-\lambda x}dx \\ &=& \left[ -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} \right]_0^{\infty} \\ &=& \frac{1}{\lambda} \end{eqnarray*}

となる.

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離散確率変数の期待値

定義:離散確率変数の期待値

確率質量関数\psi_X(x_i):= Pr(X=x_i),\;(i=1,2,...,n,...)に従う離散確率変数Xの期待値あるいは平均 E[X] とは,次式で定義される値である.

(4)   \begin{equation*} E[X]:= \sum_{x_i\in S} \; x_i \; \psi_X(x_i) \end{equation*}

ただし,S:=supp(f_X)\psi_Xの台(support) である.

離散確率変数の期待値の求め方:例.ポアソン分布の期待値

ポアソン分布の確率質量関数は

(5)   \begin{equation*} \psi_X(k):= Pr(X=k) = \frac{\lambda^k \; e^{-\lambda} }{k!} \end{equation*}

で与えられる.ただし,k=0, 1, 2,... である.したがって,ポアソン分布の期待値は

(6)   \begin{eqnarray*} E[X]&:=& \sum_{k=0}^{\infty} \; k \cdot \psi_X(k) \\ &=& \sum_{k=0}^{\infty} \; k \cdot \frac{\lambda^k \; e^{-\lambda} }{k!} \\ &=& \sum_{k=1}^{\infty} \; k \cdot \frac{\lambda^k \; e^{-\lambda} }{k!} \\ &=& \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^k \; e^{-\lambda} }{(k-1)!} \\ &=& \lambda \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^(k-1) \; e^{-\lambda} }{(k-1)!} \\ &=& \lambda \sum_{k'=0}^{\infty} \frac{\lambda^{k'} \; e^{-\lambda} }{k'!} \quad (k':=k-1)\\ &=& \lambda \cdot 1 \\ &=& \lambda \end{eqnarray*}

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分散

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