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「和の期待値」＝「期待値の和」の計算：期待値の線形性の証明【確率論】

確率変数ⅩとＹの和の期待値(平均)について，「Ⅹ＋Ｙの期待値」＝「Ⅹの期待値」＋「Ｙの期待値」が成り立ちます．また，定数ａに対して「ａⅩの期待値」＝「Ⅹの期待値のａ倍」が成り立ちます．これらの性質を合わせた等式（期待値の線形性）を証明します．和の期待値の証明は，ここに含まれます．なお，Ⅹ，Ｙの独立性の仮定は必要ありません．

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「和の期待値」は「期待値の和」，期待値の線形性

確率変数の和と差の期待値(平均)の計算

期待値の和と差
確率変数XとYの和X+Yと差X-Yの期待値(平均)について，次式が成り立つ．

(1)   \begin{equation*} E[X+Y]=E[X]+E[Y] \end{equation*}

(2)   \begin{equation*} E[X-Y]=E[X]-E[Y] \end{equation*}

上式の証明については，次節の「期待値の線形性」の証明の中に含まれる．

期待値の線形性

式(1)，式(2)に対して，より一般的に，次式が成り立つ．

期待値の線形性
確率変数X,Yと，任意定数a,bに対して，次の等式が成り立つ．

(3)   \begin{equation*} E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y] \end{equation*}

すなわち，期待値に関して線形性が成り立つ．

式(1)あるいは式(2)は，それぞれ(a,b)=(1,1)あるいは(a,b)=(1,-1)とした，式(3)の特殊な場合である．したがって，式(1)，式(2)に関する証明は，式(3)に関する証明をしておけば十分である．本稿では式(3)を証明する．

式(3)には，期待値の和に関する性質(1)と，期待値の定数倍に関する性質

(4)   \begin{equation*} E[aX]=aE[X] \end{equation*}

の，2つの性質が含まれている．

期待値の線形性の証明

確率変数X,Yが，連続確率変数に従う場合と，離散確率変数に従う場合に分けて証明する．証明の手順はどちらも同様であり，主な相違は，確率密度関数と積分で定義されるか，確率質量関数と総和で定義されるかという，期待値に関する表記上の違いである．

なお，期待値の線形性を証明する際，XとYの独立性（すなわちf_{(X,Y)}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)あるいは\psi_{(X,Y)}(x,y)=\psi_X(x)\psi_Y(y)）に関する仮定は不要である．

証明（連続確率変数の場合）

確率変数X,Yを，結合確率密度関数(joint probability density function) f_{(X,Y)}(x,y)に従う連続確率変数であるとする．この確率密度関数の台をS_{XY}:={\rm supp}(f_{(X,Y)})\subseteq S_X \times S_Y \subset {\mathbb R} \times {\mathbb R}とする．a,bを任意定数として，期待値E[aX+bY]は

(5)   \begin{equation*} E[aX+bY]:=\iint_{S_{XY}} (ax+by)\cdot f_{(X,Y)}(x,y) \; dxdy \end{equation*}

で定義される．例えば，S_{XY}={\mathbb R} \times {\mathbb R}であれば，

(6)   \begin{equation*} E[aX+bY]=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} (ax+by)\cdot f_{(X,Y)}(x,y) \; dxdy \end{equation*}

などとなる．式(5)の変数を分けながら積分を実行すると，

(7)   \begin{eqnarray*} &&E[aX+bY]\\ &:=&\iint_{S_{XY}} (ax+by)\cdot f_{(X,Y)}(x,y) \; dxdy\\ &=&\iint_{S_{XY}} ax\cdot f_{(X,Y)}(x,y) \; dxdy + \iint_{S_{XY}} by\cdot f_{(X,Y)}(x,y) \; dxdy\\ &=& a \int_{S_X} x \cdot \left[ \int_{S_Y} f_{(X,Y)}(x,y) \; dy \right] dx + b \int_{S_Y} y \cdot \left[ \int_{S_X} f_{(X,Y)}(x,y) \; dx \right] dy \\ &=& a \int_{S_X} x f_X(x) \; dx + b \int_{S_Y} y f_Y(y) \; dy \\ &=& a E[X] + b E[Y] \end{eqnarray*}

を得る．ただし，周辺確率密度関数(marginal probability density function) の定義

(8)   \begin{eqnarray*} f_X(x) &:=& \int_{S_Y} f_{(X,Y)}(x,y) \; dy \\ f_Y(y) &:=& \int_{S_X} f_{(X,Y)}(x,y) \; dx \end{eqnarray*}

および期待値E[X],E[Y]の定義

(9)   \begin{eqnarray*} E[X] &:=& \int_{S_X} x f_X(x) \; dx \\ E[Y] &:=& \int_{S_Y} y f_Y(y) \; dy \end{eqnarray*}

を用いた．■

証明（離散確率変数の場合）

確率変数X,Yを，結合確率質量関数(joint probability mass function) \psi_{(X,Y)}(x,y)に従う離散確率変数であるとする．この確率質量関数の台をS_{XY}:={\rm supp}(\psi_{(X,Y)})\subseteq S_X \times S_Yとする．a,bを任意定数として，期待値E[aX+bY]は

(10)   \begin{equation*} E[aX+bY]:=\mathop{\sum\sum}\limits_{(x,y) \in S_{XY}} (ax+by)\cdot \psi_{(X,Y)}(x,y) \end{equation*}

で定義される．例えば，S_{XY}=\{0,1,2,...\} \times \{0,1,2,...\}であれば，

(11)   \begin{equation*} E[aX+bY]=\sum_{x=0}^{\infty} \sum_{y=0}^{\infty} (ax+by)\cdot \psi_{(X,Y)}(x,y) dy \end{equation*}

などとなる．式(10)の変数を分けながら積分を実行すると，

(12)   \begin{eqnarray*} &&E[aX+bY]\\ &:=&\mathop{\sum\sum}\limits_{(x,y) \in S_{XY}} (ax+by)\cdot \psi_{(X,Y)}(x,y) dy\\ &=&\mathop{\sum\sum}\limits_{(x,y) \in S_{XY}} ax\cdot \psi_{(X,Y)}(x,y) dy + \mathop{\sum\sum}\limits_{(x,y) \in S_{XY}} by\cdot \psi_{(X,Y)}(x,y) dy\\ &=& a \sum_{x \in S_X} x \cdot \left[ \sum_{y \in S_Y} \psi_{(X,Y)}(x,y) \right] dx + b \sum_{y \in S_Y} y \cdot \left[ \sum_{x \in S_X} \psi_{(X,Y)}(x,y) \right] dy \\ &=& a \sum_{x \in S_X} x \cdot \psi_X(x) + b \sum_{y \in S_Y} y \cdot \psi_Y(y) \\ &=& a E[X] + b E[Y] \end{eqnarray*}

を得る．ただし，周辺確率質量関数(marginal probability mass function) の定義

(13)   \begin{eqnarray*} \psi_X(x) &:=& \sum_{y \in S_Y} \psi_{(X,Y)}(x,y) \\ \psi_Y(y) &:=& \sum_{x \in S_X} \psi_{(X,Y)}(x,y) \end{eqnarray*}

および期待値E[X],E[Y]の定義

(14)   \begin{eqnarray*} E[X] &:=& \sum_{x \in S_X} x \cdot \psi_X(x) \\ E[Y] &:=& \sum_{y \in S_Y} y \cdot \psi_Y(y) \end{eqnarray*}

を用いた．■

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