アーラン分布の和再生性の証明【確率論，和の分布，畳み込み，指数分布】

アーラン確率変数X1，X2の和Y:=X1＋X2が再びアーラン分布に従うこと，すなわちアーラン分布が再生性を持つことを示します．

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アーラン分布の再生性(reproductive property of the Erlang distribution)

2つの確率変数 $X_1, X_2$ がそれぞれパラメータ $(k_1,\lambda),(k_2,\lambda)$ のアーラン分布(Erlang distribution)

(1) $\begin{equation*} \text{pdf : } \; f_{X_i}(x_i) = \frac{ \lambda^{k_i} x_i^{k_i-1} e^{-\lambda x_i} }{ (k_i - 1)! } \qquad (i = 1,2) \end{equation*}$

に従うとき，2つの確率変数の和 $Y:= X_1 + X_2$ はパラメータ $(k_1+k_2,\lambda)$ のアーラン分布

(2) $\begin{equation*} \text{pdf : } \; f_Y(y) = \frac{ \lambda^{k_1+k_2} y^{k_1+k_2-1} e^{-\lambda y} }{ (k_1+k_2 - 1)! } \end{equation*}$

に従う．□

準備

積分

(3) $\begin{equation*} \int_0^y x^m (y-x)^n dx \quad = \quad \frac{m!\; n!}{(m+n+1)!}y^{m+n+1} \end{equation*}$

が成り立つ．実際，

(4) $\begin{eqnarray*} && \int_0^y x^m (y-x)^n dx \\ &=& \left[\frac{1}{m+1} x^{m+1}(y-x)^n \right]_0^y + \frac{n}{m+1} \int_0^y x^{m+1} (y-x)^{n-1} dx\\ &=& \frac{n}{m+1} \int_0^y x^{m+1} (y-x)^{n-1} dx\\ &=& \frac{n}{m+1}\cdot \frac{n-1}{m+2} \int_0^y x^{m+2} (y-x)^{n-2} dx\\ && \\ &=& \cdots \\ && \\ &=& \frac{n}{m+1}\cdot \frac{n-1}{m+2} \cdot \cdots \cdot \frac{1}{m+n} \int_0^y x^{m+n} (y-x)^0 dx\\ &=& \frac{n}{m+1}\cdot \frac{n-1}{m+2} \cdot \cdots \cdot \frac{1}{m+n} \int_0^y x^{m+n} dx\\ &=& \frac{n!\; m!}{(m+n)!} \left[ \frac{1}{m+n+1} x^{m+n+1} \right]_0^y\\ &=& \frac{m!\; n!}{(m+n+1)!}y^{m+n+1} \end{eqnarray*}$

となる．

証明

2つの確率変数の和 $Y=X_1+X_2$ の確率密度関数 $f_Y$ は，もとの確率密度関数 $f_{X_1}, f_{X_2}$ の畳み込み(convolution)を計算することで求められる[2つの確率変数の和の分布の求め方はこちら]．すなわち

(5) $\begin{equation*} f_Y(y) = \int_0^y f_{X_1}(x)f_{X_2}(y-x)dx \end{equation*}$

を計算すればよい．式(1)を，式(5)に代入すると，

(6) $\begin{eqnarray*} f_Y(y) &=& \int_0^y f_{X_1}(x)f_{X_2}(y-x)dx \\ &=& \int_0^y \frac{\lambda^{k_1} x^{k_1-1} e^{-\lambda x} }{(k_1-1)!} \cdot \frac{\lambda^{k_2} (y-x)^{k_2-1} e^{-\lambda (y-x)} }{(k_2-1)!} dx \\ &=& \frac{\lambda^{k_1+k_2} e^{-\lambda y} }{(k_1-1)!\;(k_2-1)!} \int_0^y x^{k_1-1} (y-x)^{k_2-1} dx \end{eqnarray*}$

上式最後の積分は， $m:=k_1-1, n:=k_2-1$ とおけば，式(3)と同じ式なので，

(7) $\begin{equation*} \int_0^y x^{k_1-1} (y-x)^{k_2-1} dx \quad = \quad \frac{(k_1-1)!\;(k_2-1)!}{(k_1+k_2-1)!}y^{k_1+k_2-1} \end{equation*}$

である．すなわち

(8) $\begin{eqnarray*} f_Y(y) &=& \frac{\lambda^{k_1+k_2} e^{-\lambda y} }{(k_1-1)!\;(k_2-1)!} \cdot \frac{(k_1-1)!\;(k_2-1)!}{(k_1+k_2-1)!}y^{k_1+k_2-1} \\ &=& \frac{ \lambda^{k_1+k_2} y^{k_1+k_2-1} e^{-\lambda y} }{ (k_1+k_2 - 1)! } \end{eqnarray*}$

を得る．

Remark 1

式(7)左辺の $x$ を， $z:=x/y\;(0\le z \le 1)$ で変数変換すると，

(9) $\begin{eqnarray*} && \int_0^y x^{k_1-1} (y-x)^{k_2-1} dx \\ &=& \int_0^1 (yz)^{k_1-1} (y-yz)^{k_2-1} ydz \\ &=& y^{k_1+k_2-1} \int_0^1 z^{k_1-1} (1-z)^{k_2-1} dz \end{eqnarray*}$

を得る．これと式(7)と合わせて，上式最後の積分は

(10) $\begin{eqnarray*} \int_0^1 z^{k_1-1} (1-z)^{k_2-1} dz = \frac{(k_1-1)!\;(k_2-1)!}{(k_1+k_2-1)!} \end{eqnarray*}$

となることが分かる．式(10)の $k_1,k_2\in {\mathbb N}$ をそれぞれ $\Re(\alpha)>0, \Re(\beta)>0$ なる $\alpha, \beta \in {\mathbb C}$ に置き換えた式

(11) $\begin{equation*} B(\alpha, \beta):=\int_0^1 z^{\alpha-1} (1-z)^{\beta-1} dz \end{equation*}$

は，ベータ関数と呼ばれ，階乗の一般化であるガンマ関数を用いて

(12) $\begin{equation*} B(\alpha, \beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\;\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)} \end{equation*}$

と書くことができる．これは式(10)の一般化に他ならない．

Remark 2

アーラン分布 $Erlang(k,\lambda)$ について， $k$ を実数とし，階乗 $(k-1)!$ をガンマ関数 $\Gamma(k)$ で置き換え， $\theta := 1/\lambda$ とすると，これはガンマ分布 $Gamma(k,\theta)$ に帰着する．本稿で述べた再生性は，ガンマ分布でも同様に成り立つ．[ガンマ分布の再生性の証明はこちら]