ガンマ分布の和再生性の証明【確率論，和の分布，畳み込み，指数分布】

ガンマ確率変数X1，X2の和Y:=X1＋X2が再びガンマ分布に従うこと，すなわちガンマ分布が再生性を持つことを示します．

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ガンマ分布の再生性(reproducing property of the gamma distribution)

2つの確率変数 $X_1, X_2$ がそれぞれパラメータ $(k_1,\theta),(k_2,\theta)$ のガンマ分布(gamma distribution)

(1) $\begin{equation*} \text{pdf : } \; f_{X_i}(x_i) = \frac{ x_i^{k_i-1} e^{-x_i/\theta} }{ \Gamma(k_i)\; \theta^{k_i} } \qquad (i = 1,2) \end{equation*}$

に従うとき，2つの確率変数の和 $Y:= X_1 + X_2$ はパラメータ $(k_1+k_2,\theta)$ のガンマ分布

(2) $\begin{equation*} \text{pdf : } \; f_Y(y) = \frac{ y^{k_1+k_2-1} e^{-y/\theta} }{ \Gamma(k_1+k_2)\; \theta^{k_1+k_2} } \end{equation*}$

に従う．□

準備

積分

(3) $\begin{equation*} \int_0^y x^{k_1-1} (y-x)^{k_2-1} dx \quad = \quad \frac{\Gamma(k_1)\; \Gamma(k_2)}{\Gamma(k_1+k_2)}y^{k_1+k_2-1} \end{equation*}$

が成り立つ．実際，(3)式の左辺を $z:=x/y$ のように変数変換すると， $x=yz$ ， $dx=ydz$ ， $z$ の積分区間が $z\in[0,1)$ などとなるので，

(4) $\begin{eqnarray*} &&\int_0^y x^{k_1-1} (y-x)^{k_2-1} dx \\ &=& \int_0^1 (yz)^{k_1-1} (y-yz)^{k_2-1} ydz\\ &=& y^{k_1+k_2-1} \int_0^1 z^{k_1-1} (1-z)^{k_2-1} dz \end{eqnarray*}$

となる．ところで，(4)式の最後にある積分は，ベータ関数であり，これはガンマ関数を用いて

(5) $\begin{equation*} \int_0^1 z^{k_1-1} (1-z)^{k_2-1} dz \quad = \quad \frac{\Gamma(k_1)\; \Gamma(k_2)}{\Gamma(k_1+k_2)} \end{equation*}$

と書くことができる．したがって，これらを合わせると，

(6) $\begin{equation*} \int_0^y x^{k_1-1} (y-x)^{k_2-1} dx \quad = \quad \frac{\Gamma(k_1)\; \Gamma(k_2)}{\Gamma(k_1+k_2)}y^{k_1+k_2-1} \end{equation*}$

を得る．

証明

2つの確率変数の和 $Y=X_1+X_2$ の確率密度関数 $f_Y$ は，もとの確率密度関数 $f_{X_1}, f_{X_2}$ の畳み込み(convolution)を計算することで求められる[2つの確率変数の和の分布の求め方はこちら]．すなわち

(7) $\begin{equation*} f_Y(y) = \int_0^y f_{X_1}(x)f_{X_2}(y-x)dx \end{equation*}$

を計算すればよい．式(1)を，式(7)に代入すると，

(8) $\begin{eqnarray*} f_Y(y) &=& \int_0^y f_{X_1}(x)f_{X_2}(y-x)dx \\ &=& \int_0^y \frac{x^{k_1-1} e^{-x/\theta} }{\Gamma(k_1)\;\theta^{k_1}} \cdot \frac{(y-x)^{k_2-1} e^{-(y-x)/\theta} }{\Gamma(k_2)\; \theta^{k_2}} dx \\ &=& \frac{e^{-y/\theta} }{\Gamma(k_1)\;\Gamma(k_2)\;\theta^{k_1+k_2}} \int_0^y x^{k_1-1} (y-x)^{k_2-1} dx \end{eqnarray*}$

上式最後の積分は，(3)式と同じ式なので，

(9) $\begin{eqnarray*} f_Y(y) &=& \frac{e^{-y/\theta} }{\Gamma(k_1)\;\Gamma(k_2)\;\theta^{k_1+k_2}} \int_0^y x^{k_1-1} (y-x)^{k_2-1} dx \\ &=& \frac{e^{-y/\theta} }{\Gamma(k_1)\;\Gamma(k_2)\;\theta^{k_1+k_2}} \cdot \frac{\Gamma(k_1)\; \Gamma(k_2)}{\Gamma(k_1+k_2)}y^{k_1+k_2-1} \\ &=& \frac{y^{k_1+k_2-1} \; e^{-y/\theta} }{\Gamma(k_1+k_2)\;\theta^{k_1+k_2}} \end{eqnarray*}$