アーラン分布の和 再生性の証明【確率論,和の分布,畳み込み,指数分布】

アーラン確率変数X1,X2の和Y:=X1+X2が再びアーラン分布に従うこと,すなわちアーラン分布が再生性を持つことを示します.

アーラン分布の再生性(reproductive property of the Erlang distribution)

2つの確率変数X_1, X_2がそれぞれパラメータ(k_1,\lambda),(k_2,\lambda)のアーラン分布(Erlang distribution)

(1)   \begin{equation*} \text{pdf : } \; f_{X_i}(x_i) = \frac{ \lambda^{k_i} x_i^{k_i-1} e^{-\lambda x_i} }{ (k_i - 1)! }  \qquad (i = 1,2)  \end{equation*}

に従うとき,2つの確率変数の和Y:= X_1 + X_2はパラメータ(k_1+k_2,\lambda)のアーラン分布

(2)   \begin{equation*} \text{pdf : } \; f_Y(y) = \frac{ \lambda^{k_1+k_2} y^{k_1+k_2-1} e^{-\lambda y} }{ (k_1+k_2 - 1)! } \end{equation*}

に従う.□

 

準備

積分

(3)   \begin{equation*} \int_0^y x^m (y-x)^n dx \quad = \quad \frac{m!\; n!}{(m+n+1)!}y^{m+n+1} \end{equation*}

が成り立つ.実際,

(4)   \begin{eqnarray*} && \int_0^y x^m (y-x)^n dx \\ &=& \left[\frac{1}{m+1} x^{m+1}(y-x)^n \right]_0^y + \frac{n}{m+1} \int_0^y x^{m+1} (y-x)^{n-1} dx\\ &=& \frac{n}{m+1} \int_0^y x^{m+1} (y-x)^{n-1} dx\\ &=& \frac{n}{m+1}\cdot \frac{n-1}{m+2} \int_0^y x^{m+2} (y-x)^{n-2} dx\\ && \\ &=& \cdots \\ && \\ &=& \frac{n}{m+1}\cdot \frac{n-1}{m+2} \cdot \cdots \cdot \frac{1}{m+n} \int_0^y x^{m+n} (y-x)^0 dx\\ &=& \frac{n}{m+1}\cdot \frac{n-1}{m+2} \cdot \cdots \cdot \frac{1}{m+n} \int_0^y x^{m+n} dx\\ &=& \frac{n!\; m!}{(m+n)!} \left[ \frac{1}{m+n+1} x^{m+n+1} \right]_0^y\\ &=& \frac{m!\; n!}{(m+n+1)!}y^{m+n+1} \end{eqnarray*}

となる.

 

証明

2つの確率変数の和Y=X_1+X_2の確率密度関数f_Yは,もとの確率密度関数f_{X_1}, f_{X_2}の畳み込み(convolution)を計算することで求められる[2つの確率変数の和の分布の求め方は こちら].すなわち

(5)   \begin{equation*} f_Y(y) = \int_0^y f_{X_1}(x)f_{X_2}(y-x)dx  \end{equation*}

を計算すればよい.式(1)を,式(5)に代入すると,

(6)   \begin{eqnarray*} f_Y(y)  &=& \int_0^y f_{X_1}(x)f_{X_2}(y-x)dx \\ &=& \int_0^y \frac{\lambda^{k_1} x^{k_1-1} e^{-\lambda x} }{(k_1-1)!} \cdot \frac{\lambda^{k_2} (y-x)^{k_2-1} e^{-\lambda (y-x)} }{(k_2-1)!} dx \\ &=& \frac{\lambda^{k_1+k_2} e^{-\lambda y} }{(k_1-1)!\;(k_2-1)!} \int_0^y x^{k_1-1} (y-x)^{k_2-1} dx \end{eqnarray*}

上式最後の積分は,m:=k_1-1, n:=k_2-1とおけば,式(3)と同じ式なので,

(7)   \begin{equation*} \int_0^y x^{k_1-1} (y-x)^{k_2-1} dx \quad = \quad \frac{(k_1-1)!\;(k_2-1)!}{(k_1+k_2-1)!}y^{k_1+k_2-1}  \end{equation*}

である.すなわち

(8)   \begin{eqnarray*} f_Y(y)  &=& \frac{\lambda^{k_1+k_2} e^{-\lambda y} }{(k_1-1)!\;(k_2-1)!} \cdot \frac{(k_1-1)!\;(k_2-1)!}{(k_1+k_2-1)!}y^{k_1+k_2-1} \\ &=& \frac{ \lambda^{k_1+k_2} y^{k_1+k_2-1} e^{-\lambda y} }{ (k_1+k_2 - 1)! } \end{eqnarray*}

を得る.

 

Remark 1

式(7)左辺のxを,z:=x/y\;(0\le z \le 1)で変数変換すると,

(9)   \begin{eqnarray*} && \int_0^y x^{k_1-1} (y-x)^{k_2-1} dx \\ &=& \int_0^1 (yz)^{k_1-1} (y-yz)^{k_2-1} ydz \\ &=& y^{k_1+k_2-1} \int_0^1 z^{k_1-1} (1-z)^{k_2-1} dz \end{eqnarray*}

を得る.これと式(7)と合わせて,上式最後の積分は

(10)   \begin{eqnarray*} \int_0^1 z^{k_1-1} (1-z)^{k_2-1} dz = \frac{(k_1-1)!\;(k_2-1)!}{(k_1+k_2-1)!} \end{eqnarray*}

となることが分かる.式(10)のk_1,k_2\in {\mathbb N}をそれぞれ\Re(\alpha)>0, \Re(\beta)>0なる\alpha, \beta \in {\mathbb C}に置き換えた式

(11)   \begin{equation*} B(\alpha, \beta):=\int_0^1 z^{\alpha-1} (1-z)^{\beta-1} dz \end{equation*}

は,ベータ関数と呼ばれ,階乗の一般化であるガンマ関数を用いて

(12)   \begin{equation*} B(\alpha, \beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\;\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)} \end{equation*}

と書くことができる.これは式(10)の一般化に他ならない.

Remark 2

アーラン分布Erlang(k,\lambda)について,kを実数とし,階乗(k-1)!をガンマ関数\Gamma(k)で置き換え,\theta := 1/\lambdaとすると,これはガンマ分布Gamma(k,\theta)に帰着する.本稿で述べた再生性は,ガンマ分布でも同様に成り立つ.[ガンマ分布の再生性の証明は こちら]

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