指数分布の和はアーラン分布となることを証明する/アーラン分布の導出【確率論】

指数分布に従う独立な確率変数の和はアーラン分布に従うこと，すなわちアーラン分布は指数分布の和の分布として導出されることを示します．指数分布およびアーラン分布は待ち行列理論において頻出します．

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指数分布の和の分布はアーラン分布である

$n$ 個の独立な確率変数 $X_1,...,X_i,...,X_n\;(n\in {\mathbb N})$ がそれぞれパラメータ $\lambda$ の指数分布(exponential distribution)

(1) $\begin{equation*} \text{pdf : } \; f_{X_i}(x_i) = \lambda e^{-\lambda x_i} \qquad (i = 1,...,n) \end{equation*}$

に従うとき，この $n$ 個の指数確率変数の和 $Y:= \sum_{i=1}^n X_i$ はパラメータ $(n,\lambda)$ のアーラン分布(Erlang distribution)

(2) $\begin{equation*} \text{pdf : } \; f_Y(y) = \frac{ \lambda^n y^{n-1} e^{-\lambda y} }{ (n - 1)! } \end{equation*}$

に従う．□

準備

2つの確率変数の和 $Y=X_1+X_2$ の確率密度関数 $f_Y$ は，もとの確率密度関数 $f_{X_1}, f_{X_2}$ の畳み込み(convolution)を計算することで求められる[2つの確率変数の和の分布の求め方はこちら]．すなわち

(3) $\begin{equation*} f_Y(y) = \int_0^y f_{X_1}(x)f_{X_2}(y-x)dx \end{equation*}$

を計算すればよい．

証明

命題は，畳み込みに関する数学的帰納法を用いて証明される．

(i) n=1のとき

$n=1$ のとき命題が成り立つこと，すなわち $n=1$ のアーラン分布が指数分布に一致することを示す．

アーラン分布の確率密度関数(2)で $n=1$ とすると， $0!=1$ に注意すれば，

(4) $\begin{equation*} f_Y(y) = \frac{ \lambda^1 y^{0} e^{-\lambda y} }{ 0! } =\lambda e^{-\lambda y} \end{equation*}$

となり，指数分布の確率密度関数(1)に帰着する．したがって $n=1$ のとき命題は成り立つ．

(ii) n=2のとき

$n=2$ のとき命題が成り立つことを示す．

指数分布の確率密度関数(1)を，畳み込み(3)に代入すると，

(5) $\begin{eqnarray*} f_Y(y) &=& \int_0^y f_{X_1}(x)f_{X_2}(y-x)dx \\ &=& \int_0^y \lambda e^{-\lambda x} \cdot \lambda e^{-\lambda (y-x)} dx \\ &=& \int_0^y \lambda^2 e^{-\lambda y} \cdot e^{-\lambda x} \cdot e^{\lambda x} dx \\ &=& \lambda^2 e^{-\lambda y} \int_0^y dx \\ &=& \lambda^2 e^{-\lambda y} \cdot \big[\;x\;\big]_0^y \\ &=& \lambda^2 ye^{-\lambda y} \end{eqnarray*}$

を得る．上式(5)は，アーラン分布の確率密度関数(2)で $n=2$ としたものに他ならない．したがって $n=2$ のとき命題は成り立つ．

(iii) n>2のとき

$n=k \ge 2$ のとき命題が成り立つと仮定すると， $n=k+1$ のときもまた命題が成り立つことを示す．

指数分布の確率密度関数(1)および $n=k$ としたアーラン分布の確率密度関数(2)を畳み込み(3)に代入すると，

(6) $\begin{eqnarray*} f_Y(y) &=& \int_0^y f_{X_1}(x)f_{X_2}(y-x)dx \\ &=& \int_0^y \frac{ \lambda^k x^{k-1} e^{-\lambda x} }{ (k - 1)! } \cdot \lambda e^{-\lambda (y-x)} dx \\ &=& \frac{ \lambda^{k+1} }{ (k - 1)! } \int_0^y x^{k-1} e^{-\lambda x} \cdot e^{-\lambda y}\cdot e^{\lambda x} dx \\ &=& \frac{ \lambda^{k+1} e^{-\lambda y} }{ (k - 1)! } \int_0^y x^{k-1} dx \\ &=& \frac{ \lambda^{k+1} e^{-\lambda y} }{ (k - 1)! } \cdot \left[\; \frac1k x^k \;\right]_0^y \\ &=& \frac{ \lambda^{k+1} y^k e^{-\lambda y} }{ k\cdot (k - 1)! } \\ &=& \frac{ \lambda^{k+1} y^k e^{-\lambda y} }{ k! } \end{eqnarray*}$