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ベクトルと関数の線形従属・線形独立の定義と意味

ベクトルと関数の線形従属・線形独立（1次従属・1次独立）の，定義と意味を説明します．

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ベクトルの線形従属・線形独立（1次従属・1次独立）の定義

2つのベクトルの線形従属および線形独立とは，以下のように定義される概念である．

（定義 1-1 ）ベクトルの線形従属と線形独立：2つのベクトルに対して

2つのベクトル ${\bf a}, {\bf b}$

について， $c\not=0$

なる $c$

をある定数として

(1) $\begin{equation*} {\bf b}=c {\bf a} \end{equation*}$

が成り立つとき，ベクトル ${\bf a}$ と ${\bf b}$ は線形従属(linearly dependent)または1次従属であるという．

また，ベクトル ${\bf a}$ と ${\bf b}$ が線形従属でないとき，すなわち， $c\not=0$ なる任意の定数 $c$ に対して

(2) $\begin{equation*} {\bf b}\not=c {\bf a} \end{equation*}$

であるとき，ベクトル ${\bf a}$ と ${\bf b}$ は線形独立(linearly independent)または1次独立であるという．

さらに一般の場合として， $n$ 個のベクトルの線形従属および線形独立は，以下のように定義される．

（定義 1-2 ）ベクトルの線形従属と線形独立：n 個のベクトルに対して

$n$

個のベクトル ${\bf x}_1, ..., {\bf x}_n$

について， $(c_1,...,c_n) \not=(0,...,0)$

なる $c_1,...,c_n$

をある定数として

(3) $\begin{equation*} c_1{\bf x}_1 + ...+ c_n {\bf x}_n = {\bf 0} \end{equation*}$

が成り立つとき，これらのベクトル ${\bf x}_1, ..., {\bf x}_n$ は，互いに線形従属(linearly dependent)または1次従属であるという．

また，ベクトル ${\bf x}_1, ..., {\bf x}_n$ が線形従属でないとき，すなわち， $(c_1,...,c_n) \not=(0,...,0)$ なる任意の定数 $c_1,...,c_n$ に対して

(4) $\begin{equation*} c_1{\bf x}_1 + ...+ c_n {\bf x}_n \not= {\bf 0} \end{equation*}$

であるとき，これらのベクトル ${\bf x}_1, ..., {\bf x}_n$ は，互いに線形独立(linearly independent)または1次独立であるという．

$n$ 個のベクトルに対する定義 1-2 において $n=2$ とし， $c:=-c_1/c_2$ ， ${\bf a}:={\bf x}_1$ ， ${\bf b}:={\bf x}_2$ などとすれば，これは定義 1-1 に帰着する．

関数の線形従属・線形独立（1次従属・1次独立）の定義

2つの関数の線形従属および線形独立とは，以下のように定義される概念である．

（定義 2-1 ）関数の線形従属と線形独立：2つの関数に対して

2つの関数 $y_1(x), y_2(x)$

について， $c\not=0$

なる $c$

をある定数として

(5) $\begin{equation*} y_2(x)=c y_1(x) \end{equation*}$

が成り立つとき，関数 $y_1(x)$ と $y_2(x)$ は線形従属(linearly dependent)あるいは1次従属であるという．

また，関数 $y_1(x)$ と $y_2(x)$ が線形従属でないとき，すなわち， $c\not=0$ なる任意の定数 $c$ に対して

(6) $\begin{equation*} y_2(x)\not=c y_1(x) \end{equation*}$

であるとき，関数 $y_1(x)$ と $y_2(x)$ は線形独立(linearly independent)あるいは1次独立であるという．

関数の線形独立の証明とロンスキアン(ロンスキー行列式)

2019年6月13日

さらに一般の場合として， $n$ 個の関数の線形従属および線形独立は，以下のように定義される．

（定義 2-2 ）関数の線形従属と線形独立：n 個の関数に対して

$n$

個の関数 $y_1(x), ..., y_n(x)$

について， $(c_1,...,c_n) \not=(0,...,0)$

なる $c_1,...,c_n$

をある定数として

(7) $\begin{equation*} c_1 y_1(x) + ...+ c_n y_n(x) = 0 \end{equation*}$

が成り立つとき，これらのベクトル ${\bf x}_1, ..., {\bf x}_n$ は，互いに線形従属(linearly dependent)または1次従属であるという．

また，関数 $y_1(x), ..., y_n(x)$ が線形従属でないとき，すなわち， $(c_1,...,c_n) \not=(0,...,0)$ なる任意の定数 $c_1,...,c_n$ に対して

(8) $\begin{equation*} c_1 y_1(x) + ...+ c_n y_n(x) \not= 0 \end{equation*}$

であるとき，これらの関数 $y_1(x), ..., y_n(x)$ は，互いに線形独立(linearly independent)または1次独立であるという．

$n$ 個の関数に対する定義 2-2 において $n=2$ ， $c:=-c_1/c_2$ などとすれば，これは定義 2-1 に帰着する．

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