ヤコビアンの定義・意味・例題（２重積分の極座標変換・変数変換）【微積分】

【この記事の概要】

ヤコビアン（ヤコビ行列／行列式）の定義を示します．ヤコビアンは多変数関数の積分（多重積分）の変数変換で現れます．2次元直交座標系から極座標系への変換を例示します．微小面積素と外積(ウェッジ積)との関係を調べ，面積分でヤコビアンに絶対値がつく理由を述べます．

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ヤコビ行列の定義

$n$ 次元の変数 $(x_1,x_2,...,x_n)$ から $m$ 次元の変数 $(z_1,z_2,...,z_m)$ への変数変換が，関数 $(f_1,f_2,...,f_m)$ によって

(1) $\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ccc} z_1 &=& f_1(x_1,x_2,...,x_n) \\ z_2 &=& f_2(x_1,x_2,...,x_n) \\ \vdots &&\\ z_m &=& f_m(x_1,x_2,...,x_n) \end{array} \right \end{equation*}$

のように定義されたとする．このとき，

(2) $\begin{equation*} \frac{\partial f_i}{\partial x_j}\qquad(1\le i \le m, 1 \le j \le n) \end{equation*}$

を要素とする $m\times n$ 行列

(3) $\begin{equation*} J:= \left( \begin{array}{cccc} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} &\frac{\partial f_1}{\partial x_2} &\cdots &\frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} &\frac{\partial f_2}{\partial x_2} &\cdots &\frac{\partial f_2}{\partial x_n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} &\frac{\partial f_m}{\partial x_2} &\cdots &\frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{array} \right) \end{equation*}$

をヤコビ行列(Jacobian matrix)という．

なお，変数変換(1)において， $z_i\;(i=1,...,m)$ が $(x_1,...,x_n)$ の従属変数であることが明らかであるときには，ヤコビ行列を

(4) $\begin{equation*} \frac{\partial z_i}{\partial x_j}\qquad(1\le i \le m, 1 \le j \le n) \end{equation*}$

を要素とする $m\times n$ 行列

(5) $\begin{equation*} J= \left( \begin{array}{cccc} \frac{\partial z_1}{\partial x_1} &\frac{\partial z_1}{\partial x_2} &\cdots &\frac{\partial z_1}{\partial x_n}\\ \frac{\partial z_2}{\partial x_1} &\frac{\partial z_2}{\partial x_2} &\cdots &\frac{\partial z_2}{\partial x_n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ \frac{\partial z_m}{\partial x_1} &\frac{\partial z_m}{\partial x_2} &\cdots &\frac{\partial z_m}{\partial x_n} \end{array} \right) \end{equation*}$

と書くこともある．

ヤコビアン（ヤコビ行列式）の定義

一般に，正方行列 $A$ の行列式(determinant)は， $\det A$ ， $\det(A)$ ， $|A|$ などと表される．

上式(3)あるいは(7)で与えられるヤコビ行列 $J$ が，特に $m = n$ の正方行列である場合，その行列式

(6) $\begin{equation*} \det J = |J|= \left| \begin{array}{cccc} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} &\frac{\partial f_1}{\partial x_2} &\cdots &\frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} &\frac{\partial f_2}{\partial x_2} &\cdots &\frac{\partial f_2}{\partial x_n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} &\frac{\partial f_m}{\partial x_2} &\cdots &\frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{array} \right| \end{equation*}$

あるいは

(7) $\begin{equation*} \det J = |J|= \left| \begin{array}{cccc} \frac{\partial z_1}{\partial x_1} &\frac{\partial z_1}{\partial x_2} &\cdots &\frac{\partial z_1}{\partial x_n}\\ \frac{\partial z_2}{\partial x_1} &\frac{\partial z_2}{\partial x_2} &\cdots &\frac{\partial z_2}{\partial x_n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ \frac{\partial z_m}{\partial x_1} &\frac{\partial z_m}{\partial x_2} &\cdots &\frac{\partial z_m}{\partial x_n} \end{array} \right| \end{equation*}$

が定義できる．これをヤコビアン（ヤコビ行列式 Jacobian determinant）という．

英語ではヤコビ行列およびヤコビ行列式をJacobian matrix および Jacobian determinant といい，どちらもJacobianと呼ばれ得る（文脈によって判断する）．日本語では，単にヤコビアンというときには行列式を指すことが多く，本稿もこれに倣う．

ヤコビアンの意味と役割：多重積分の変数変換

ヤコビアンの意味を知るための準備：１変数の積分の変数変換

ヤコビアンの意味を理解するための準備として，まず，１変数の積分の変数変換を考えることにする．

１変数関数 $H(z)$ を区間 $(z_a,z_b)$ で積分することを考えよ．すなわち

(8) $\begin{equation*} \int_{z_a}^{z_b} H(z) \; dz \end{equation*}$

この積分を，旧変数 $z$ と新変数 $x$ の関係式

(9) $\begin{equation*} z=f(x) \end{equation*}$

を満たす新しい変数 $x$ による積分で書き換えよう．積分区間の対応を

(10) $\begin{equation*} \begin{array}{c|ccc} z & z_a=f(x_a) &\to& z_b=f(x_b)\\ \hline x & x_a& \to& x_b \end{array} \end{equation*}$

とする．変数変換(9)より，

(11) $\begin{equation*} H(z)=H\left(f(x)\right) \end{equation*}$

であり，微小線素 $dz$ に対して

(12) $\begin{equation*} dz = \frac{dz}{dx} dx = \frac{df(x)}{dx} dx \\ \end{equation*}$

に注意すると，積分変数 $z$ から $x$ への変換は

(13) $\begin{equation*} \int_{z_a}^{z_b} H(z) \; dz = \int_{x_a}^{x_b} H\left(f(x)\right) \cdot \frac{dz}{dx} \; dx \\ \end{equation*}$

となる．

以上の変数変換で，単に $z$ を $x$ に置き換えた形（正しくない式 $^{\ast}$ ）

(14) $\begin{equation*} \text{incorrect equation*}\;(\times)\; : \qquad \int_{x_a}^{x_b} H\left(f(x)\right) \; dx \\ \end{equation*}$

ではなく，式(12)および式(13)において，変数変換(9)の微分

(15) $\begin{equation*} \frac{dz}{dx} \; \left( \; = \frac{df(x)}{dx} \; \right) \\ \end{equation*}$

が現れていることに注意せよ．変数変換は関数(9)に従って各局所におけるスケールを変化させるが，微分項(15)はそのスケールの「歪み」を元に戻して，積分の値を不変に保つ役割を果たす．

上記の1変数変換に関する模式図を，以下に示す．

ヤコビアンの役割：多重積分の変数変換におけるスケール調整

多変数の積分（多重積分において），微分項(15)と同じ役割を果たすのが，ヤコビアンである．

簡単のため，２変数関数 $H(z_1,z_2)$ を領域 $S_z$ で面積分することを考える．すなわち

(16) $\begin{equation*} \iint_{S_z} H(z_1,z_2) \; dz_1 dz_2 \end{equation*}$

１変数の場合と同様に，この積分を，関係式

(17) $\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ccc} z_1 &=& f_1(x_1,x_2) \\ z_2 &=& f_2(x_1,x_2) \end{array} \right \end{equation*}$

を満たす新しい変数 $(x_1,x_2)$ による積分で書き換えよう．変数変換(17)より，

(18) $\begin{equation*} H(z_1,z_2)=H\left(f_1(x_1,x_2),f_2(x_1,x_2)\right) \end{equation*}$

である．

また，式(17)の全微分は

(19) $\begin{eqnarray*} df_1(x_1,x_2) &=& \frac{\partial f_1(x_1,x_2)}{\partial x_1} dx_1+\frac{\partial f_1(x_1,x_2)}{\partial x_2} dx_2 \\ df_2(x_1,x_2) &=& \frac{\partial f_2(x_1,x_2)}{\partial x_1} dx_1+\frac{\partial f_2(x_1,x_2)}{\partial x_2} dx_2 \\ \end{eqnarray*}$

あるいは

(20) $\begin{eqnarray*} dz_1 &=& \frac{\partial z_1}{\partial x_1} dx_1+\frac{\partial z_1}{\partial x_2} dx_2 \\ dz_2 &=& \frac{\partial z_2}{\partial x_1} dx_1+\frac{\partial z_2}{\partial x_2} dx_2 \\ \end{eqnarray*}$

である（式(17)は与えられているとして，以降は式(20)による表記とする）．

１変数の際に，微小線素 $dz$ から $dx$ への変換(12)

$\begin{equation*} dz = \frac{dz}{dx}dx \end{equation*}$

で， $\frac{dz}{dx}$ が現れたことを思い出そう．結論を先に言えば，多変数の場合において，この $\frac{dz}{dx}$ に当たるものがヤコビアンとなる．微小面積素 $dz_1dz_2$ から $dx_1dx_2$ への変換は

(21) $\begin{equation*} dz_1dz_2 = ||J||\;dx_1dx_2 \end{equation*}$

となり，ヤコビアン（ヤコビ行列式；Jacobian determinant） $|J|$ の絶対値 $||J||$ が現れる．この式の詳細と，ヤコビアンに絶対値が付く理由については，次節で述べる．

変数変換後の積分領域を $S_x$ とすると，式(8)は，式(10)，式(14)などより，

(22) $\begin{equation*} \iint_{S_z} H(z_1,z_2) \; dz_1 dz_2 = \iint_{S_x} H\left(f_1(x_1,x_2),f_2(x_1,x_2)\right) \; ||J||\;dx_1dx_2 \end{equation*}$

のように書き換えることができる．

上記の変数変換に関する模式図を，以下に示す．

ヤコビアンの導出：微小面積素と外積(ウェッジ積)との関係，およびヤコビアンに絶対値がつく理由

微小面積素と外積(ウェッジ積)との関係

前節では，式(21)

$\begin{equation*} dz_1dz_2 = ||J||\;dx_1dx_2 \end{equation*}$

を提示しただけであった．本節では，この式の由来を検討しよう．

微小面積素 $dz_1dz_2$ は，微小線素 $dz_1$ と $dz_2$ が張る面を表す．

（※「微小面積素」は，一般的には，任意の次元の微小領域という意味で volume element（訳は微小体積，体積素片，体積要素など）と呼ばれる．）

ところで，２辺が張る平行四辺形の記述には，ベクトルのクロス積(cross product)を用いたことを思い出そう．クロス積 ${\bf a} \times {\bf b}$ は， $\bf a$ と $\bf b$ を隣り合う二辺とする平行四辺形に対応付けることができた．

このベクトルのクロス積 $\times$ を一般化した演算として， ウェッジ積(wedge product; 楔積くさびせきともいう) あるいは外積(exterior product) が知られており，記号 $\wedge$ を用いる．なお，ウェッジ積によって生成される代数(algebra; 多元環)は，外積代数(exterior algebra)（あるいはグラスマン代数(Grassmann algebra)）であり，これを用いて多変数の微積分を座標に依存せずに計算するための方法が，微分形式(differential form)である（詳細は別稿とする）．

$\bf a$ ， $\bf b$ のなす「向き付き平行四辺形」をクロス積 ${\bf a} \times {\bf b}$ に対応付けたのと同様，微小線素 $dz_1$ と $dz_2$ がなす微小面積素を，単に $dz_1dz_2$ と表すのではなく，クロス積の一般化としてウエッジ積 $\wedge$ を用いて

(23) $\begin{equation*} dz_1\wedge dz_2 \end{equation*}$

と書くことにする． $dz_1dz_2$ に基づく面積分では「向き」を考慮しない．それに対してウェッジ積では，ベクトルのクロス積と同様，

(24) $\begin{equation*} dz_1\wedge dz_2 = - dz_2\wedge dz_1 \end{equation*}$

の形で，符号（ $\pm$ ）によって微小面積素に「向き」をつけられる．

さて，全微分(20)について， $\frac{\partial z_i}{\partial x_j}$ を係数， $dz_1$ と $dz_2$ をベクトルのように見て， $dz_1\wedge dz_2$ をクロス積のように計算すると，以下のような過程を得る（ただし，クロス積同様，積の順序に注意する）：

(25) $\begin{eqnarray*} &&dz_1\wedge dz_2 \\ &&= \left( \frac{\partial z_1}{\partial x_1} dx_1+\frac{\partial z_1}{\partial x_2} dx_2 \right) \wedge \left( \frac{\partial z_2}{\partial x_1} dx_1+\frac{\partial z_2}{\partial x_2} dx_2 \right) \\ &&= \left( A dx_1 + B dx_2 \right) \wedge \left( C dx_1 + D dx_2 \right) \\ &&= A dx_1 \wedge C dx_1 +　B dx_2 \wedge C dx_1 + A dx_1 \wedge D dx_2 + B dx_2 \wedge D dx_2 \\ &&= AC dx_1 \wedge dx_1 +　BC dx_2 \wedge dx_1 + AD dx_1 \wedge dx_2 + BD dx_2 \wedge dx_2 \end{eqnarray*}$

ただし，途中，各 $\frac{\partial z_i}{\partial x_j}$ を $A,B,C,D$ で置き換えて計算した．さらに，クロス積と同様，任意の元 $\alpha$ に対して $\alpha \wedge \alpha = 0$ であり，任意の $i,j\in\{1,2\}$ に対して

(26) $\begin{equation*} dx_i\wedge dx_i = 0 \end{equation*}$

(27) $\begin{equation*} dx_i\wedge dx_j = - dx_j\wedge dx_i \end{equation*}$

が成り立つため，式(25)はさらに

(28) $\begin{eqnarray*} &&dz_1\wedge dz_2 \\ &&=AC dx_1 \wedge dx_1 +　BC dx_2 \wedge dx_1 + AD dx_1 \wedge dx_2 + BD dx_2 \wedge dx_2\\ &&= BC dx_2 \wedge dx_1 + AD dx_1 \wedge dx_2 \\ &&= - BC dx_1 \wedge dx_2 + AD dx_1 \wedge dx_2 \\ &&= (AD- BC) dx_1 \wedge dx_2 \\ &&= \left( \frac{\partial z_1}{\partial x_1}\frac{\partial z_2}{\partial x_2} - \frac{\partial z_1}{\partial x_2}\frac{\partial z_2}{\partial x_1} \right) dx_1 \wedge dx_2 \\ &&= \left| \begin{array}{cc} \frac{\partial z_1}{\partial x_1} & \frac{\partial z_1}{\partial x_2} \\ \frac{\partial z_2}{\partial x_1} & \frac{\partial z_2}{\partial x_2} \end{array} \right| dx_1 \wedge dx_2 \end{eqnarray*}$

となる．
上式最後に得られる行列式は，変数変換(17)に関するヤコビアン

(29) $\begin{equation*} |J|= \left| \begin{array}{cc} \frac{\partial z_1}{\partial x_1} & \frac{\partial z_1}{\partial x_2} \\ \frac{\partial z_2}{\partial x_1} & \frac{\partial z_2}{\partial x_2} \end{array} \right| \end{equation*}$

に他ならない．結局，

(30) $\begin{equation*} dz_1 \wedge dz_2 = |J|\;dx_1 \wedge dx_2 \end{equation*}$

を得る．

ヤコビアンに絶対値がつく理由

上式 (30) は，ウェッジ積によって微小面積素が向きづけられた上での，変数変換に伴う微小体積素の変換を表す．ここでのヤコビアン $|J|$ は， $dx_1 \wedge dx_2$ に対する $dz_1 \wedge dz_2$ の，「拡大（縮小）率」と，「向き（符号）反転の有無」の情報を持つことがわかる．

式 (30) ではウェッジ積による向き（符号）がある一方，面積分 (16) に用いる微小面積素 $dz_1dz_2$ は向き（符号）を持たない．このため，ヤコビアン $|J|$ に絶対値をつけて $||J||$ とし，「向き（符号）反転の有無」の情報を消して，「拡大（縮小）率」だけを与えるようにすれば，式(21)

$\begin{equation*} dz_1dz_2 = ||J||\;dx_1dx_2 \end{equation*}$

のようになることがわかる．

なお，積分の「向き」が計算結果の正負に影響するのは，1変数関数における積分の「向き」の反転

$\begin{equation*} \int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx \end{equation*}$

にも表れるものである．

ヤコビアンの例題：２重積分の極座標変換

ヤコビアンを用いた２重積分の変数変換の例として重要なものに，次式

(31) $\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ccc} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \end{array} \right \end{equation*}$

で定義される，２次元直交座標系 $(x,y)$ から２次元極座標系 $(r,\theta)$ への変換(converting between polar and Cartesian coordinates)がある．

前々節で述べた手順に従って， $(x,y)\in{\mathbb R}^2$ で定義される関数 $H(x,y)$ の，領域 $S_x\times S_y \subseteq {\mathbb R}^2$ での積分

(32) $\begin{equation*} \int_{S_x} \int_{S_y} H(x,y) \; dxdy \end{equation*}$

を，極座標表示を用いた積分に変換しよう．変換後の積分領域は

(33) $\begin{equation*} S_r \times S_{\theta} \subseteq \left\{ (r,\theta)| r \in [0,\infty), \theta \in [0,2\pi) \right\} \end{equation*}$

で表すことにする．

式(31)より， $H(x,y)$ については

(34) $\begin{equation*} H(x,y) = H(r \cos \theta , r \sin \theta ) \end{equation*}$

である．

微小体積 $dxdy$ については，式(31)より計算されるヤコビアンの絶対値 $||J||$ を用いて，

(35) $\begin{eqnarray*} dxdy &=& \|J\| \; drd\theta\\ &=& \left\| \begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial r} \\ \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{array} \right\| drd\theta \\ &=& \left\| \begin{array}{cc} \cos \theta & \sin \theta \\ -r \sin \theta & r \cos \theta \end{array} \right\| drd\theta \\ &=& |r \cos^2 \theta + r \sin^2 \theta | drd\theta \\ &=& |r| drd\theta \\ &=& r drd\theta \quad(\because r \ge 0) \end{eqnarray*}$

となる．これは，前節までに示してきた，微小面積素の変数変換
式(21)

$\begin{equation*} dz_1dz_2 = ||J||\;dx_1dx_2 \end{equation*}$

の具体的な計算例に他ならない．

結局，２重積分の極座標変換

(36) $\begin{eqnarray*} && \int_{S_x} \int_{S_y} H(x,y) \; dxdy \\ &&= \int_{S_r} \int_{S_{\theta}} H(r \cos \theta , r \sin \theta ) \; \|J\| \; drd\theta\\ &&= \int_{S_r} \int_{S_{\theta}} H(r \cos \theta , r \sin \theta ) \; r \; drd\theta\\ \end{eqnarray*}$

を得る．

この計算は，ガウス積分の公式を証明する際にも用いられる．ガウス積分の詳細については，以下の記事を参照のこと．

ガウス積分の公式を証明/導出する【微積分】

2017年2月9日

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