期待値の線形性の証明：確率変数の和の平均の計算【確率論】

【この記事の概要】

確率変数ⅩとＹの和の期待値(平均)について，「Ⅹ＋Ｙの期待値」＝「Ⅹの期待値」＋「Ｙの期待値」が成り立ちます．また，定数ａに対して「ａⅩの期待値」＝「Ⅹの期待値のａ倍」が成り立ちます．これらの性質を合わせた等式（期待値の線形性）を証明します．和の期待値の証明は，ここに含まれます．なお，Ⅹ，Ｙの独立性の仮定は必要ありません．

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「和の期待値」は「期待値の和」，期待値の線形性

確率変数の和と差の期待値(平均)の計算

期待値の和と差

確率変数 $X$

と $Y$

の和 $X+Y$

と差 $X-Y$

の期待値(平均)について，次式が成り立つ．

(1) $\begin{equation*} E[X+Y]=E[X]+E[Y] \end{equation*}$

(2) $\begin{equation*} E[X-Y]=E[X]-E[Y] \end{equation*}$

上式の証明については，次節の「期待値の線形性」の証明の中に含まれる．

期待値の線形性

式(1)，式(2)に対して，より一般的に，次式が成り立つ．

期待値の線形性

確率変数 $X,Y$

と，任意定数 $a,b$

に対して，次の等式が成り立つ．

(3) $\begin{equation*} E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y] \end{equation*}$

すなわち，期待値に関して線形性が成り立つ．

式(1)あるいは式(2)は，それぞれ $(a,b)=(1,1)$ あるいは $(a,b)=(1,-1)$ とした，式(3)の特殊な場合である．したがって，式(1)，式(2)に関する証明は，式(3)に関する証明をしておけば十分である．本稿では式(3)を証明する．

式(3)には，期待値の和に関する性質(1)と，期待値の定数倍に関する性質

(4) $\begin{equation*} E[aX]=aE[X] \end{equation*}$

の，2つの性質が含まれている．

期待値の線形性の証明

確率変数 $X,Y$ が，連続確率変数に従う場合と，離散確率変数に従う場合に分けて証明する．証明の手順はどちらも同様であり，主な相違は，確率密度関数と積分で定義されるか，確率質量関数と総和で定義されるかという，期待値に関する表記上の違いである．

なお，期待値の線形性を証明する際， $X$ と $Y$ の独立性（すなわち $f_{(X,Y)}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ あるいは $\psi_{(X,Y)}(x,y)=\psi_X(x)\psi_Y(y)$ ）に関する仮定は不要である．

証明（連続確率変数の場合）

確率変数 $X,Y$ を，結合確率密度関数(joint probability density function) $f_{(X,Y)}(x,y)$ に従う連続確率変数であるとする．この確率密度関数の台を $S_{XY}:={\rm supp}(f_{(X,Y)})\subseteq S_X \times S_Y \subset {\mathbb R} \times {\mathbb R}$ とする． $a,b$ を任意定数として，期待値 $E[aX+bY]$ は

(5) $\begin{equation*} E[aX+bY]:=\iint_{S_{XY}} (ax+by)\cdot f_{(X,Y)}(x,y) \; dxdy \end{equation*}$

で定義される．例えば， $S_{XY}={\mathbb R} \times {\mathbb R}$ であれば，

(6) $\begin{equation*} E[aX+bY]=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} (ax+by)\cdot f_{(X,Y)}(x,y) \; dxdy \end{equation*}$

などとなる．式(5)の変数を分けながら積分を実行すると，

(7) $\begin{eqnarray*} &&E[aX+bY]\\ &:=&\iint_{S_{XY}} (ax+by)\cdot f_{(X,Y)}(x,y) \; dxdy\\ &=&\iint_{S_{XY}} ax\cdot f_{(X,Y)}(x,y) \; dxdy + \iint_{S_{XY}} by\cdot f_{(X,Y)}(x,y) \; dxdy\\ &=& a \int_{S_X} x \cdot \left[ \int_{S_Y} f_{(X,Y)}(x,y) \; dy \right] dx + b \int_{S_Y} y \cdot \left[ \int_{S_X} f_{(X,Y)}(x,y) \; dx \right] dy \\ &=& a \int_{S_X} x f_X(x) \; dx + b \int_{S_Y} y f_Y(y) \; dy \\ &=& a E[X] + b E[Y] \end{eqnarray*}$

を得る．ただし，周辺確率密度関数(marginal probability density function) の定義

(8) $\begin{eqnarray*} f_X(x) &:=& \int_{S_Y} f_{(X,Y)}(x,y) \; dy \\ f_Y(y) &:=& \int_{S_X} f_{(X,Y)}(x,y) \; dx \end{eqnarray*}$

および期待値 $E[X],E[Y]$ の定義

(9) $\begin{eqnarray*} E[X] &:=& \int_{S_X} x f_X(x) \; dx \\ E[Y] &:=& \int_{S_Y} y f_Y(y) \; dy \end{eqnarray*}$

を用いた．■

証明（離散確率変数の場合）

確率変数 $X,Y$ を，結合確率質量関数(joint probability mass function) $\psi_{(X,Y)}(x,y)$ に従う離散確率変数であるとする．この確率質量関数の台を $S_{XY}:={\rm supp}(\psi_{(X,Y)})\subseteq S_X \times S_Y$ とする． $a,b$ を任意定数として，期待値 $E[aX+bY]$ は

(10) $\begin{equation*} E[aX+bY]:=\mathop{\sum\sum}\limits_{(x,y) \in S_{XY}} (ax+by)\cdot \psi_{(X,Y)}(x,y) \end{equation*}$

で定義される．例えば， $S_{XY}=\{0,1,2,...\} \times \{0,1,2,...\}$ であれば，

(11) $\begin{equation*} E[aX+bY]=\sum_{x=0}^{\infty} \sum_{y=0}^{\infty} (ax+by)\cdot \psi_{(X,Y)}(x,y) dy \end{equation*}$

などとなる．式(10)の変数を分けながら積分を実行すると，

(12) $\begin{eqnarray*} &&E[aX+bY]\\ &:=&\mathop{\sum\sum}\limits_{(x,y) \in S_{XY}} (ax+by)\cdot \psi_{(X,Y)}(x,y) dy\\ &=&\mathop{\sum\sum}\limits_{(x,y) \in S_{XY}} ax\cdot \psi_{(X,Y)}(x,y) dy + \mathop{\sum\sum}\limits_{(x,y) \in S_{XY}} by\cdot \psi_{(X,Y)}(x,y) dy\\ &=& a \sum_{x \in S_X} x \cdot \left[ \sum_{y \in S_Y} \psi_{(X,Y)}(x,y) \right] dx + b \sum_{y \in S_Y} y \cdot \left[ \sum_{x \in S_X} \psi_{(X,Y)}(x,y) \right] dy \\ &=& a \sum_{x \in S_X} x \cdot \psi_X(x) + b \sum_{y \in S_Y} y \cdot \psi_Y(y) \\ &=& a E[X] + b E[Y] \end{eqnarray*}$