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関数の線形独立の証明とロンスキアン(ロンスキー行列式)

ロンスキアン（ロンスキー行列式）を用いた，関数の線形従属・線形独立（1次従属・1次独立）の証明について説明します．

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ロンスキアン（ロンスキー行列式）の定義

2つの微分可能な関数に対して，ロンスキアンは次のように定義される．

（定義1）ロンスキアン（ロンスキー行列式）：2関数の場合
区間 I 上で定義された微分可能な関数 f(x), g(x) に対して，

(1)   \begin{equation*} W(f,g)(x):= \left| \begin{array}{cc} f(x) & g(x) \\ f'(x) & g'(x) \\ \end{array} \right| \end{equation*}

なる行列式で定義される I 上の関数 W(f,g)(x) を，ロンスキアン(Wronskian)あるいはロンスキー行列式(Wronski determinant)という．

より一般には，n個の微分可能な関数に対して，ロンスキアンは次のように定義される．先の定義1は，次の定義2で n=2 としたものとなる．

（定義2）ロンスキアン（ロンスキー行列式）：n関数の場合
区間 I 上で定義された n-1 階微分可能な n個の関数 f_1(x),f_2(x),..., f_n(x) に対して，

(2)   \begin{equation*} W(f_1,f_2,...,f_n)(x):= \left| \begin{array}{cccc} f_1(x) & f_2(x) & ... & f_n(x) \\ f'_1(x) & f'_2(x) & ... & f'_n(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^{(n-1)}(x) & f_2^{(n-1)}(x) & ... & f_n^{(n-1)}(x) \\ \end{array} \right| \end{equation*}

なる行列式で定義される I 上の関数 W(f_1,f_2,...,f_n)(x) を，ロンスキアン(Wronskian)あるいはロンスキー行列式(Wronski determinant)という．

ロンスキアン（ロンスキー行列式）と関数の線形独立・線形従属の関係

関数 f(x), g(x) の線形独立性・線形従属性と，それらのなすロンスキアン W(f,g) には，次の関係がある．

（命題）関数の線形独立・線形従属とロンスキアンの関係
f(x), g(x) を区間 I 上で定義された微分可能な関数とする．任意の x\in I に対して，次の命題が成り立つ．

  • （命題1） f と g は線形従属 ⇒ W(f,g)= 0
  • （命題2） W(f,g)\not= 0 ⇒ f と g は線形独立
この命題より，2つの関数が線形独立であることを示すためには，それらのロンスキアンが0でないことを示せばよいことがわかる．

なお，これら２つの命題は，互いに対偶の関係にあり，同値であるから，証明はどちらかを示せば十分である．以下に命題1を示す．

（証明：命題1）f と g は線形従属 ⇒ W(f,g) = 0

f と g は線形従属

    \begin{equation*} f \text{ and } g \text{ are linearly dependent. } \end{equation*}

    \begin{eqnarray*} :\Leftrightarrow & \quad f(x) =& cg(x) \quad (^{\exists}c\not=0 \text{ is a constant.})\\ \Rightarrow & \quad W(f,g)(x) =& W(cg,g)(x) \\ &\qquad \qquad \qquad =& \left| \begin{array}{cc} cg(x) & g(x) \\ cg'(x) & g'(x) \\ \end{array} \right| \\ &\qquad \qquad \qquad =& cg(x)\cdot g'(x) - cg'(x) \cdot g(x) = 0 \\ \Rightarrow & W(f,g) =& 0 \\ \blacksquare && \label{eq03} \end{eqnarray*}

ベクトルと関数の線形従属・線形独立の定義と意味

2019年6月13日

sin(正弦)とcos(余弦)が線形独立であることの証明

2つの関数が線形独立であることを証明する例題として，前節の命題1を用いて次の命題を示す．

（命題）sin(正弦)とcos(余弦)の線形独立性
\sin \omega x と \cos \omega x（ただし ^{\forall}x\in \mathbb{R}，\omega \not= 0 は定数）は互いに線形独立である．
（証明）
\sin \omega x と \cos \omega x について，ロンスキアン W は

(3)   \begin{eqnarray*} W(\sin \omega x , \cos \omega x ) &=& \left| \begin{array}{cc} \sin \omega x & \cos \omega x \\ \omega \cos \omega x & - \omega \sin \omega x \end{array} \right|\\ &=& -\omega \sin ^2 \omega x - \omega \cos ^2 \omega x \\ &=& -\omega \left( \sin ^2 \omega x + \cos ^2 \omega x \right) \\ &=& -\omega \not= 0 \end{eqnarray*}

と計算できる．すなわち ^{\forall}x\in \mathbb{R} において W(\sin \omega x , \cos \omega x )\not= 0 であるから，\sin \omega x と \cos \omega x は互いに線形独立である．
\blacksquare

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