2階線形常微分方程式から標準形への変換・導出【微分方程式】

斉次２階線形常微分方程式を，変数変換によって標準形に書き直す方法を説明します．

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２階線形常微分方程式の標準形とは

２階線形常微分方程式(second order linear ordinary differential equation)において，以下のような形式を，標準形(canonical form)という.

２階線形常微分方程式の標準形

(1) $\begin{equation*} \frac{d^2 f(x)}{dx^2} + kf(x) = 0 \quad (k\in \mathbb{R} \text{ is a constant.}) \end{equation*}$

２階線形微分方程式から標準形への変換

定数係数の斉次２階線形常微分方程式

(2) $\begin{equation*} \frac{d^2 y(x)}{dx^2} + p\frac{d y(x)}{dx} + qy(x) = 0 \quad (p, q\in \mathbb{R} \text{ are constants.}) \end{equation*}$

は，従属変数 $y$ に関する次のような変数変換によって，標準形(1)に書き直すことができる．

２階線形常微分方程式から標準形に書き直しに用いる変数変換

斉次２階線形常微分方程式(2)は，

(3) $\begin{equation*} f(x):=y(x)\cdot e^{px/2} \end{equation*}$

によって定義される従属変数の変数変換 $\mathcal{F}:y\mapsto f$ によって，標準形(1)に変換される．

２階線形微分方程式から標準形への変換の計算方法

$y'(x):=\frac{d y(x)}{dx}$ ， $y''(x):=\frac{d^2 y(x)}{dx^2}$ などとする．

定数係数の斉次２階線形常微分方程式(2)

(4) $\begin{equation*} y''(x) + py'(x) + qy(x) = 0 \end{equation*}$

に対して，式(3)で定義される新たな従属変数 $f$ を導入する．式(3)より

(5) $\begin{equation*} y(x)=f(x)\cdot e^{-px/2} \end{equation*}$

である．積の微分法に注意すると，式(5)の１階微分，２階微分はそれぞれ

(6) $\begin{eqnarray*} y' &=&\left( f\cdot e^{-px/2} \right)'\\ &=& f'\cdot e^{-px/2} + f\cdot \left( e^{-px/2} \right)'\\ &=& f'\cdot e^{-px/2} - \frac{p}{2} f \cdot e^{-px/2} \\ &=& \left( f' - \frac{p}{2} f \right) e^{-px/2} \end{eqnarray*}$

(7) $\begin{eqnarray*} y'' &=&\left( y' \right)'\\ &=&\left[ \left( f' - \frac{p}{2} f \right) \cdot e^{-px/2} \right]'\\ &=& \left( f' - \frac{p}{2} f \right)' \cdot e^{-px/2} + \left( f' - \frac{p}{2} f \right) \cdot \left( e^{-px/2} \right)' \\ &=& \left( f'' - \frac{p}{2} f' \right) e^{-px/2} - \frac{p}{2} \left( f' - \frac{p}{2} f \right) e^{-px/2} \\ &=& \left( f'' - p \cdot f' + \frac{p^2}{4} f \right) e^{-px/2} \end{eqnarray*}$

となる．式(4)～(6)を式(4)左辺に代入すると

(8) $\begin{eqnarray*} && y'' + py' + qy \\ &=& \left( f'' - p \cdot f' + \frac{p^2}{4} f \right) e^{-px/2} + p\left( f' - \frac{p}{2} f \right) e^{-px/2} + q f e^{-px/2}\\ &=& \left[ \left( f'' - p \cdot f' + \frac{p^2}{4} f \right) + p\left( f' - \frac{p}{2} f \right) + q f \right] e^{-px/2}\\ &=& \left[ f'' - p \cdot f' + \frac{p^2}{4} f + p f' - \frac{p^2}{2} f + q f \right] e^{-px/2}\\ &=& \left[ f'' + \left( q - \frac{p^2}{4} \right) f \right] e^{-px/2} \end{eqnarray*}$

となる．ところで， $p$ ， $x$ の任意の値に対して， $e^{-px/2}\not= 0$ であることから，

(9) $\begin{eqnarray*} && y'' + py' + qy=0 \\ &\Leftrightarrow& \left[ f'' + \left( q - \frac{p^2}{4} \right) f \right] e^{-px/2}=0\\ &\Leftrightarrow& f'' + \left( q - \frac{p^2}{4} \right) f =0 \end{eqnarray*}$