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常微分方程式の定義【微分方程式】

【この記事の概要】

常微分方程式の定義を述べ，常微分方程式の正規形，一般解と特解（特殊解），常微分方程式と偏微分方程式の違い，などについて説明します．

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常微分方程式の定義

常微分方程式の定義

（定義）常微分方程式
x は実数値または複素数値を取る変数，y は実数値または複素数値を取る x の関数，すなわち

(1)   \begin{eqnarray*} &&x \in D \subseteq \mathbb{R} \text{ or } \mathbb{C} \\ &&y:D \to \mathbb{R} \text{ or } \mathbb{C} \end{eqnarray*}

とする．またy は x について n 階微分可能で

(2)   \begin{eqnarray*} y'&:=& \frac{dy(x)}{dx} \\ y''&:=& \frac{d^2y(x)}{dx^2} \\ y^{(k)}&:=& \frac{d^k y(x)}{dx^k}\quad(k=3,...,n) \end{eqnarray*}

などとする．このとき，x,y,y',...,y^{(n)} について，恒等的に成り立つ次の関係式

(3)   \begin{equation*} \Psi(x,y,y',...,y^{(n)})=0 \end{equation*}

を，関数 y(x) に関する n 階常微分方程式( n-th-order ordinary differential equation)という．

また，式(9)を満たす関数 y(x) をこの微分方程式の解(solution)といい，この解を求めることを微分方程式を解く(solve the differential equation)という．

常微分方程式の正規形

n 階常微分方程式(9)を，適当な式変形によって最高階微分項（n 階微分項：y^{(n)}）とその他の項（n-1 階以下の微分項：y^{(n-1)},...,y',y,x）を分離し，

(4)   \begin{equation*} y^{(n)} = f(x,y,y',...,y^{(n-1)}) \end{equation*}

のように書いたとき，これを n 階常微分方程式正規形(normal form)という．

常微分方程式の解：一般解と特解

常微分方程式を解くということは，大まかに言って，その方程式を適切に積分して，方程式に含まれる微分演算子を消去することである．

したがって，常微分方程式の解には，その関数の中に積分定数(integral constant)が現れる（1階常微分方程式であれば積分1回分で1個の定数が現れ，2階常微分方程式であれば積分2回分で2個の定数が現れる）．

解に含まれる積分定数（ c_1,...,c_n とする）について，具体的な数値が不定のままの任意定数とした場合，この解を常微分方程式の一般解(general solution)という．言い換えれば，常微分方程式の一般解は，変数 x に関する関数の族(family)

(5)   \begin{equation*} \left\{ y= y(x \; ; \; c_1,...,c_n) \;|\;^{\forall}x \in D,\; ^{\forall}c_1,...,c_n \in K^n \right\} \end{equation*}

となる（ K は適当な係数体）．

また，常微分方程式の一般解が得られているとして，x=x_0 のときの y,y',...,y^{(n)} の値が

(6)   \begin{eqnarray*} y_0&=& y(x_0) \\ y_1&=& y'(x_0) \\ y_2&=& y''(x_0) \\ &\vdots& \\ y_n&=& y^{(n)}(x_0) \end{eqnarray*}

のように与えられたとする（ y_0,...,y_n は具体的な数値）．このとき，連立方程式(6)を解くことにより，一般解に含まれる不定な積分定数 c_1,...,c_n の値が，ある具体的な値 c^0_1,...,c^0_n として定まる．言い換えれば，元の常微分方程式の一般解となる関数族の中から，条件式(6)を満たすようなひとつの関数

(7)   \begin{equation*} y= y(x \; ; \; c^0_1,...,c^0_n) \quad (^{\forall}x \in D) \end{equation*}

が得られる．このようにして得られた関数（常微分方程式の解のひとつ）を，特解あるいは特殊解(particular solution)という．また，特解を求めるために与えられた条件式(6)を初期条件(initial conditions)といい，これを解いて特解を得る問題を初期値問題(initial value problem)という．

常微分方程式と偏微分方程式の違い

ある微分方程式について，その解となる関数 y(x) の独立変数がひとつ（ x のみ）であるとき，この微分方程式を常微分方程式(ordinary differential equation)という．

他方，微分方程式の解となる関数の独立変数が2つ以上であるとき，すなわち解が引数 x_1,...,x_m を持つ多変数関数

(8)   \begin{equation*} y=y(x_1,...,x_m) \end{equation*}

であるとき，これを解として持つような微分方程式を，偏微分方程式(partial differential equation)という．偏微分方程式は，一般に次のような形式を持つ．

(9)   \begin{equation*} \Psi\left( x_1,...,x_m,y,\frac{\partial y}{\partial x_1},...,\frac{\partial y}{\partial x_m},\frac{\partial ^2y}{\partial x_1^2},...,\frac{\partial ^2y}{\partial x_i\partial x_j},..., \right)=0 \end{equation*}

常微分方程式と偏微分方程式の違い
  • 常微分方程式：解の独立変数がひとつ
  • 偏微分方程式：解の独立変数が2つ以上

常微分方程式と偏微分方程式を総称して，単に微分方程式(differential equation)という．

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