関数の線形独立の証明とロンスキアン(ロンスキー行列式)

【この記事の概要】

ロンスキアン（ロンスキー行列式）を用いた，関数の線形従属・線形独立（1次従属・1次独立）の証明について説明します．

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ロンスキアン（ロンスキー行列式）の定義

2つの微分可能な関数に対して，ロンスキアンは次のように定義される．

（定義1）ロンスキアン（ロンスキー行列式）：2関数の場合

区間 $I$

上で定義された微分可能な関数 $f(x), g(x)$

に対して，

(1) $\begin{equation*} W(f,g)(x):= \left| \begin{array}{cc} f(x) & g(x) \\ f'(x) & g'(x) \\ \end{array} \right| \end{equation*}$

なる行列式で定義される $I$ 上の関数 $W(f,g)(x)$ を，ロンスキアン(Wronskian)あるいはロンスキー行列式(Wronski determinant)という．

より一般には， $n$ 個の微分可能な関数に対して，ロンスキアンは次のように定義される．先の定義1は，次の定義2で $n=2$ としたものとなる．

（定義2）ロンスキアン（ロンスキー行列式）：n関数の場合

区間 $I$

上で定義された $n-1$

階微分可能な $n$

個の関数 $f_1(x),f_2(x),..., f_n(x)$

に対して，

(2) $\begin{equation*} W(f_1,f_2,...,f_n)(x):= \left| \begin{array}{cccc} f_1(x) & f_2(x) & ... & f_n(x) \\ f'_1(x) & f'_2(x) & ... & f'_n(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^{(n-1)}(x) & f_2^{(n-1)}(x) & ... & f_n^{(n-1)}(x) \\ \end{array} \right| \end{equation*}$

なる行列式で定義される $I$ 上の関数 $W(f_1,f_2,...,f_n)(x)$ を，ロンスキアン(Wronskian)あるいはロンスキー行列式(Wronski determinant)という．

ロンスキアン（ロンスキー行列式）と関数の線形独立・線形従属の関係

関数 $f(x), g(x)$ の線形独立性・線形従属性と，それらのなすロンスキアン $W(f,g)$ には，次の関係がある．

（命題）関数の線形独立・線形従属とロンスキアンの関係

$f(x), g(x)$

を区間 $I$

上で定義された微分可能な関数とする．任意の $x\in I$

に対して，次の命題が成り立つ．

（命題1） $f$ と $g$ は線形従属 ⇒ $W(f,g)= 0$
（命題2） $W(f,g)\not= 0$ ⇒ $f$ と $g$ は線形独立

この命題より，2つの関数が線形独立であることを示すためには，それらのロンスキアンが0でないことを示せばよいことがわかる．

なお，これら２つの命題は，互いに対偶の関係にあり，同値であるから，証明はどちらかを示せば十分である．以下に命題1を示す．

（証明：命題1）f と g は線形従属 ⇒ W(f,g) = 0

$f$ と $g$ は線形従属

$\begin{equation*} f \text{ and } g \text{ are linearly dependent. } \end{equation*}$

$\begin{eqnarray*} :\Leftrightarrow & \quad f(x) =& cg(x) \quad (^{\exists}c\not=0 \text{ is a constant.})\\ \Rightarrow & \quad W(f,g)(x) =& W(cg,g)(x) \\ &\qquad \qquad \qquad =& \left| \begin{array}{cc} cg(x) & g(x) \\ cg'(x) & g'(x) \\ \end{array} \right| \\ &\qquad \qquad \qquad =& cg(x)\cdot g'(x) - cg'(x) \cdot g(x) = 0 \\ \Rightarrow & W(f,g) =& 0 \\ \blacksquare && \label{eq03} \end{eqnarray*}$

ベクトルと関数の線形従属・線形独立の定義と意味

2019年6月13日

sin(正弦)とcos(余弦)が線形独立であることの証明

2つの関数が線形独立であることを証明する例題として，前節の命題1を用いて次の命題を示す．

（命題）sin(正弦)とcos(余弦)の線形独立性

$\sin \omega x$

と $\cos \omega x$

（ただし $^{\forall}x\in \mathbb{R}$

， $\omega \not= 0$

は定数）は互いに線形独立である．

（証明）
$\sin \omega x$

と $\cos \omega x$

について，ロンスキアン $W$

は

(3) $\begin{eqnarray*} W(\sin \omega x , \cos \omega x ) &=& \left| \begin{array}{cc} \sin \omega x & \cos \omega x \\ \omega \cos \omega x & - \omega \sin \omega x \end{array} \right|\\ &=& -\omega \sin ^2 \omega x - \omega \cos ^2 \omega x \\ &=& -\omega \left( \sin ^2 \omega x + \cos ^2 \omega x \right) \\ &=& -\omega \not= 0 \end{eqnarray*}$

と計算できる．すなわち $^{\forall}x\in \mathbb{R}$ において $W(\sin \omega x , \cos \omega x )\not= 0$ であるから， $\sin \omega x$ と $\cos \omega x$ は互いに線形独立である．
$\blacksquare$